Encontre o limite
lim x -infty x+raizx^2+2 x=-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto -infty l(x + raizx^2 + 2xr). Vamos usar conceitos de indeterminação do tipo infty - infty e técnicas de racionalização para resolver.

Passo 2

Para xto -infty, temos x<0, então raizx^2+2x = |x|raiz1+2/x = -xraiz1+2/x. Substituindo na expressão original, fica
x + raizx^2+2x = x - xraiz1+2/x = -xl(raiz1+2/x - 1r)

Passo 3

Agora precisamos simplificar o fator raiz1+2/x - 1. Racionalizamos multiplicando por raiz1+2/x + 1:
raiz1+2/x - 1 = (1+2/x) - 1raiz1+2/x + 1 = 2/xraiz1+2/x + 1

Passo 4

Substituindo de volta em -x(raiz1+2/x-1), obtemos
-x cdot 2/xraiz1+2/x + 1 = -2raiz1+2/x + 1

Passo 5

Por fim, ao fazer xto -infty, o termo 2/xto 0, logo raiz1+2/xto 1. Assim
-2raiz1+2/x + 1 ;xrightarrow[xto -infty]; -21+1 = -1

Resposta

-1

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