Usando a técnica de frações parciais, calcule
DICA: Realize a divisão polinomial pelo método da chave, depois aplique o métrodo de frações parcis.
Passo 1
A questão pede para calcular a integral
usando frações parciais. Vamos precisar primeiro fazer a divisão polinomial (porque o grau do numerador não é menor que o do denominador) e depois decompor a parte fracionária em frações simples.
Passo 2
Como o grau do numerador (2) é igual ao grau do denominador (2), fazemos a divisão polinomial: dividimos
por
. O quociente é 3 e o resto é
, pois:
Logo podemos reescrever o integrando como
Passo 3
Fatoramos o denominador para usar frações parciais:
Passo 4
Agora escrevemos a parte fracionária em frações simples:
Multiplicando ambos os lados por
e igualando coeficientes, temos
Passo 5
Comparando coeficientes:
Passo 6
Resolvendo, obtemos
e
. Assim
Passo 7
Substituindo de volta na integral e integrando termo a termo:
Aplicando regras básicas de integração (
e
):