Usando a técnica de frações parciais, calcule
integral 3 x^2+6 x+2x^2+3 x+2 d x
DICA: Realize a divisão polinomial pelo método da chave, depois aplique o métrodo de frações parcis.

Passo 1

A questão pede para calcular a integral integral 3x^2+6x+2x^2+3x+2,dx usando frações parciais. Vamos precisar primeiro fazer a divisão polinomial (porque o grau do numerador não é menor que o do denominador) e depois decompor a parte fracionária em frações simples.

Passo 2

Como o grau do numerador (2) é igual ao grau do denominador (2), fazemos a divisão polinomial: dividimos 3x^2+6x+2 por x^2+3x+2. O quociente é 3 e o resto é -3x-4, pois:
3x^2+6x+2 = 3,(x^2+3x+2) + (-3x-4)
Logo podemos reescrever o integrando como
3x^2+6x+2x^2+3x+2 = 3 + -3x-4x^2+3x+2

Passo 3

Fatoramos o denominador para usar frações parciais:
x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)

Passo 4

Agora escrevemos a parte fracionária em frações simples:
-3x-4(x+1)(x+2) = Ax+1 + Bx+2
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x+2) e igualando coeficientes, temos
-3x-4 = A(x+2) + B(x+1) = (A+B)x + (2A+B)

Passo 5

Comparando coeficientes:
A + B = -3, 2A + B = -4

Passo 6

Resolvendo, obtemos A=-1 e B=-2. Assim
-3x-4(x+1)(x+2) = -1x+1 - 2x+2

Passo 7

Substituindo de volta na integral e integrando termo a termo:
integral 3x^2+6x+2x^2+3x+2,dx = integral l(3 - 1x+1 - 2x+2r)dx
Aplicando regras básicas de integração ( integral k,dx = kx e integral 1x+adx = ln|x+a|):
3x - ln|x+1| - 2,ln|x+2| + C

Resposta

3x - ln|x+1| - 2ln|x+2| + C

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