Encontre os limites a seguir.
lim z i[(z^4-1) /(z-i)].

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de variável complexa: limzto iz^4-1z-i. O conteúdo é limite em pontos onde numerador e denominador anulam, e vamos usar fatoração de polinômios para simplificar.

Passo 2

Primeiro, verificamos que, se fizermos a substituição direta z=i, numerador e denominador viram zero, dando forma indeterminada 0/0.

Passo 3

Para retirar essa indeterminação, fatoramos o numerador usando diferença de quadrados duas vezes:
z^4-1=(z^2-1)(z^2+1)=(z-1)(z+1)(z-i)(z+i)

Passo 4

Agora podemos cancelar o fator z-i com o denominador:
z^4-1z-i=(z-1)(z+1)(z+i)

Passo 5

Por fim, substituímos z=i na expressão simplificada:
(i-1)(i+1)(i+i)=(i^2-1)(2i)=(-1-1)cdot2i=(-2)cdot2i=-4i

Resposta

-4i

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