Encontre o limite.
Passo 1
O enunciado pede o valor de
O conteúdo é cálculo de limite de função trigonométrica quando o denominador tende a zero. Vamos reescrever o produto como quociente e usar aproximações para argumentos próximos de pontos em que o cosseno anula.
Passo 2
Reescrevemos
O limite de interesse é então
Passo 3
Definimos a pequena quantidade positiva
de modo que
quando
. Então
Passo 4
Usamos identidades trigonométricas para aproximar numerador e denominador quando
é pequeno:
- Para o denominador,
Como
para
,
- Para o numerador,
E
para
, logo
Passo 5
Substituindo essas aproximações na fração, obtemos
Como a razão das aproximações coincide com o limite exato, concluímos que