Encontre o limite.
lim x pi / 2^- sec 3 x cos 5 x

Passo 1

O enunciado pede o valor de
limxtopi/2^-sec(3x),cos(5x)
O conteúdo é cálculo de limite de função trigonométrica quando o denominador tende a zero. Vamos reescrever o produto como quociente e usar aproximações para argumentos próximos de pontos em que o cosseno anula.

Passo 2

Reescrevemos
sec(3x),cos(5x) =1cos(3x),cos(5x) =cos(5x)cos(3x)
O limite de interesse é então
limxtopi/2^-cos(5x)cos(3x)

Passo 3

Definimos a pequena quantidade positiva
h=pi2-x,
de modo que hto0^+ quando xtopi/2^-. Então
3x=3l(pi2-hr)=3pi2-3h, 5x=5l(pi2-hr)=5pi2-5h

Passo 4

Usamos identidades trigonométricas para aproximar numerador e denominador quando h é pequeno:
  1. Para o denominador,
cos(3x) =cosl(tfrac3pi2-3hr) =costfrac3pi2cos(3h)+sintfrac3pi2sin(3h) =0cdotcos(3h)+(-1)sin(3h) =-sin(3h)
Como sin(3h)approx3h para hto0,
cos(3x)approx-3h
  1. Para o numerador,
cos(5x) =cosl(tfrac5pi2-5hr) =cosl(2pi+tfracpi2-5hr) =cosl(tfracpi2-5hr) =sin(5h)
E sin(5h)approx5h para hto0, logo
cos(5x)approx5h

Passo 5

Substituindo essas aproximações na fração, obtemos
cos(5x)cos(3x) approx5h-3h=-53
Como a razão das aproximações coincide com o limite exato, concluímos que
limxtopi/2^-cos(5x)cos(3x)=-53

Resposta

-53

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