Calcule:
lim x 0^+ 1-ln xe^1 / x

Passo 1

O enunciado nos pede calcular
limxto0^+1-ln xe^1/x
O conteúdo é cálculo de limites de funções em que o denominador cresce exponencialmente muito mais rápido que o numerador logarítmico, e vamos usar a regra de L’Hôpital por causa de uma indeterminação do tipo infty/infty.

Passo 2

Analisando o comportamento quando xto0^+:
– Temos ln x to -infty, logo 1-ln xto+infty.
– Também 1/xto+infty, logo e^1/xto+infty.
Portanto a expressão está na forma de indeterminação infty/infty.

Passo 3

Aplicamos a regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador:
Numerador:
ddxl(1-ln xr)=-1x
Denominador:
ddxl(e^1/xr) =e^1/xcdotddxl(tfrac1xr) =e^1/xcdotl(-tfrac1x^2r) =-e^1/xx^2
Pela regra de L’Hôpital,
limxto0^+1-ln xe^1/x =limxto0^+-1/x-,e^1/x/x^2 =limxto0^+xe^1/x

Passo 4

No limite
limxto0^+xe^1/x,
o numerador xto0 e o denominador e^1/xto+infty. Logo a fração tende a 0.

Resposta

0

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