Encontre o limite
\lim _{x \rightarrow-6^{\circ}} \frac{x}{x+6}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to -6^\circ} \frac{x}{x+6}.
Informações dadas: a função é \frac{x}{x+6} e o ponto de aproximação é x=-6^\circ. Observação prática: o símbolo de grau aqui apenas marca a escrita do número; numericamente vamos tratar -6^\circ como o número -6. O que é pedido é o comportamento da fração quando x se aproxima de -6 (pelas duas direções).

Passo 2

Primeiro tentativa: tentar substituir x=-6 diretamente na expressão. Fazendo isso obtemos o numerador -6 e o denominador -6+6=0, ou seja a avaliação direta é uma divisão por zero, portanto indefinida. Sempre que a substituição direta dá divisão por zero precisamos estudar como a função se comporta quando x se aproxima do ponto — isto é, calcular os limites laterais.

Passo 3

Explicação didática rápida sobre limites laterais e existência do limite:
  • O limite \lim_{x\to a} f(x) existe (e é finito) somente se os dois limites laterais existirem e forem iguais: \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x)=L.
  • Se um dos limites laterais for +\infty e o outro -\infty (ou forem diferentes), então o limite bilateral não existe.
  • Quando o denominador tende a zero e o numerador tende a um número diferente de zero, normalmente aparece um comportamento infinito (vertical assíntota). Para decidir se é +\infty ou -\infty faremos análise do sinal ao nos aproximarmos pela esquerda e pela direita.

Passo 4

Calcular o limite pela direita ( x\to -6^+). Faço a troca x=-6+t com t\to 0^+ (ou seja t>0 e tende a zero). Substituindo,
\frac{x}{x+6}=\frac{-6+t}{(-6+t)+6}=\frac{-6+t}{t}.
Reescrevendo:
\frac{-6+t}{t}=-\frac{6}{t}+1.
Agora, quando t\to 0^+ temos \frac{6}{t}\to +\infty, logo -\frac{6}{t}\to -\infty. Somando 1 não muda o comportamento infinito: o termo dominante é -\frac{6}{t}. Portanto
\lim_{x\to -6^+}\frac{x}{x+6}=-\infty.

Passo 5

Calcular o limite pela esquerda ( x\to -6^-). Novamente uso x=-6+t mas agora com t\to 0^- (ou seja t<0 e tende a zero). A expressão já escrita vale ainda:
\frac{-6+t}{t}=-\frac{6}{t}+1.
Agora, quando t\to 0^- temos \frac{6}{t}\to -\infty (porque dividimos por um número negativo muito pequeno), então -\frac{6}{t}\to +\infty. Assim a fração tende a +\infty:
\lim_{x\to -6^-}\frac{x}{x+6}=+\infty.

Passo 6

Conclusão sobre o limite bilateral: os limites laterais não são iguais — um tende a +\infty e o outro a -\infty. Logo o limite quando x\to -6 não existe (não existe um número real finito nem um infinito único como valor comum dos dois lados). Em linguagem de provas: há uma assíntota vertical em x=-6 e os comportamentos pelos lados são opostos.

Resposta

Não existe (os limites laterais são -\infty e +\infty).

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