Encontre o limite
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas: a função é
e o ponto de aproximação é
. Observação prática: o símbolo de grau aqui apenas marca a escrita do número; numericamente vamos tratar
como o número
. O que é pedido é o comportamento da fração quando
se aproxima de
(pelas duas direções).
Passo 2
Primeiro tentativa: tentar substituir
diretamente na expressão. Fazendo isso obtemos o numerador
e o denominador
, ou seja a avaliação direta é uma divisão por zero, portanto indefinida. Sempre que a substituição direta dá divisão por zero precisamos estudar como a função se comporta quando
se aproxima do ponto — isto é, calcular os limites laterais.
Passo 3
Explicação didática rápida sobre limites laterais e existência do limite:
- O limite
existe (e é finito) somente se os dois limites laterais existirem e forem iguais: - Se um dos limites laterais for
e o outro (ou forem diferentes), então o limite bilateral não existe. - Quando o denominador tende a zero e o numerador tende a um número diferente de zero, normalmente aparece um comportamento infinito (vertical assíntota). Para decidir se é
ou faremos análise do sinal ao nos aproximarmos pela esquerda e pela direita.
Passo 4
Calcular o limite pela direita (
). Faço a troca
com
(ou seja
e tende a zero). Substituindo,
Reescrevendo:
Agora, quando
temos
, logo
. Somando
não muda o comportamento infinito: o termo dominante é
. Portanto
Passo 5
Calcular o limite pela esquerda (
). Novamente uso
mas agora com
(ou seja
e tende a zero). A expressão já escrita vale ainda:
Agora, quando
temos
(porque dividimos por um número negativo muito pequeno), então
. Assim a fração tende a
:
Passo 6
Conclusão sobre o limite bilateral: os limites laterais não são iguais — um tende a
e o outro a
. Logo o limite quando
não existe (não existe um número real finito nem um infinito único como valor comum dos dois lados). Em linguagem de provas: há uma assíntota vertical em
e os comportamentos pelos lados são opostos.
Resposta
Não existe (os limites laterais são
e
).