Passo 1
O enunciado pede que calculemos o limite
Informações dadas: a expressão é a função exponencial
e a variável
aproxima-se de
. A pergunta explícita é: qual é o valor numérico desse limite quando
tende a
?
Passo 2
Ideia principal (sem ainda calcular): a função exponencial
é contínua para todo
. Isso quer dizer que, se uma sequência (ou variável)
tende a um valor
quando
tende a um ponto, então
desde que o limite
exista. Aqui,
e
. Vou usar essa propriedade para “tirar” o limite de dentro do expoente.
Explicando a continuidade da exponencial de forma simples: uma função é contínua num ponto quando pequenos deslocamentos na entrada geram pequenos deslocamentos na saída. A exponencial tem esse comportamento em todo lugar (é famosa por ser contínua e até diferenciável).
Passo 3
Pela propriedade de continuidade da exponencial, podemos escrever
desde que o limite
exista. Agora o problema reduz-se a calcular o limite do expoente
.
Passo 4
Calculemos
. Uma maneira direta é observar que
é um polinômio, e polinômios são funções contínuas, logo podemos simplesmente substituir
. Mas para ver por que isso dá zero de forma algébrica, fatoramos:
Quando
, o fator
tende a
, enquanto
tende a
e
tende a
. Portanto o produto tende a
. Logo
Passo 5
Voltando à igualdade do Passo 3 e substituindo o resultado do Passo 4, temos
Lembrando que
.
Passo 6
Comentário prático para a prova (dica amiga): sempre que você tiver
, verifique se
existe — se existir, basta calcular esse limite e aplicar
. Exemplo rápido:
porque
. Outra dica: se o expoente tende a
, o resultado tende a
, e às vezes pode-se usar a aproximação
para
pequeno, quando é preciso o termo linear.