1. \lim _{x \rightarrow 1} e^{x^{3}-x}

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o limite
\lim_{x \to 1} e^{x^{3}-x}.
Informações dadas: a expressão é a função exponencial e^{x^{3}-x} e a variável x aproxima-se de 1. A pergunta explícita é: qual é o valor numérico desse limite quando x tende a 1?

Passo 2

Ideia principal (sem ainda calcular): a função exponencial e^{t} é contínua para todo t\in\mathbb{R}. Isso quer dizer que, se uma sequência (ou variável) t(x) tende a um valor L quando x tende a um ponto, então
\lim_{x\to a} e^{t(x)} = e^{\lim_{x\to a} t(x)},
desde que o limite \lim_{x\to a} t(x) exista. Aqui, t(x)=x^{3}-x e a=1. Vou usar essa propriedade para “tirar” o limite de dentro do expoente.
Explicando a continuidade da exponencial de forma simples: uma função é contínua num ponto quando pequenos deslocamentos na entrada geram pequenos deslocamentos na saída. A exponencial tem esse comportamento em todo lugar (é famosa por ser contínua e até diferenciável).

Passo 3

Pela propriedade de continuidade da exponencial, podemos escrever
\lim_{x\to 1} e^{x^{3}-x} = e^{\lim_{x\to 1} (x^{3}-x)},
desde que o limite \lim_{x\to 1} (x^{3}-x) exista. Agora o problema reduz-se a calcular o limite do expoente \lim_{x\to 1} (x^{3}-x).

Passo 4

Calculemos \lim_{x\to 1} (x^{3}-x). Uma maneira direta é observar que x^{3}-x é um polinômio, e polinômios são funções contínuas, logo podemos simplesmente substituir x=1. Mas para ver por que isso dá zero de forma algébrica, fatoramos:
x^{3}-x = x(x^{2}-1) = x(x-1)(x+1).
Quando x \to 1, o fator (x-1) tende a 0, enquanto x tende a 1 e (x+1) tende a 2. Portanto o produto tende a 1\cdot 0\cdot 2 = 0. Logo
\lim_{x\to 1} (x^{3}-x) = 0.

Passo 5

Voltando à igualdade do Passo 3 e substituindo o resultado do Passo 4, temos
\lim_{x\to 1} e^{x^{3}-x} = e^{0}.
Lembrando que e^{0}=1.

Passo 6

Comentário prático para a prova (dica amiga): sempre que você tiver \lim_{x\to a} e^{g(x)}, verifique se \lim_{x\to a} g(x) existe — se existir, basta calcular esse limite e aplicar e^{(\cdot)}. Exemplo rápido: \lim_{x\to 0} e^{\sin x} = e^{0}=1 porque \sin x\to 0. Outra dica: se o expoente tende a 0, o resultado tende a 1, e às vezes pode-se usar a aproximação e^{h}\approx 1+h para h pequeno, quando é preciso o termo linear.

Resposta

1

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