Encontre o limite:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x e^{\frac{1}{x}}-x\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to\infty}\bigl(xe^{\tfrac1x}-x\bigr).
O conteúdo é limite envolvendo exponencial para argumentos que tendem a zero. Podemos usar uma técnica de reescrita em que extraímos a diferença e reconhecemos um limite padrão.

Passo 2

Note que
xe^{\tfrac1x}-x = x\bigl(e^{\tfrac1x}-1\bigr).
Fazendo a substituição \displaystyle y=\tfrac1x, quando x\to\infty temos y\to0^+ e também x=\tfrac1y. Assim,
x\bigl(e^{\tfrac1x}-1\bigr) = \frac{1}{y}\bigl(e^y-1\bigr) = \frac{e^y-1}{y}.

Passo 3

Conhecemos o limite fundamental
\lim_{y\to0}\frac{e^y-1}{y}=1.
Portanto, a expressão transformada converge para 1.

Resposta

1

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