Symbolab
Reviscó: Calcule as Reguintes Integrais.
\int_{0}^{\pi / 2} \operatorname{sen}^{2} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/2} \sin^{2}\theta \,d\theta.
O conteúdo principal aqui é o uso da identidade de redução de potência para funções trigonométricas, que nos permite integrar \sin^2\theta de forma simples.

Passo 2

Usamos a identidade de redução de potência:
\sin^{2}\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int_{0}^{\pi/2} \sin^{2}\theta \,d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} 1\,d\theta \;-\; \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} \cos(2\theta)\,d\theta.

Passo 4

Calculamos cada termo separadamente:
  1. \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}1\,d\theta = \bigl[\theta\bigr]_{0}^{\pi/2} = \frac{\pi}{2}.
  2. \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}\cos(2\theta)\,d\theta = \left[\tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_{0}^{\pi/2} = \tfrac{1}{2}\bigl(\sin\pi - \sin0\bigr) = 0.

Passo 5

Com esses resultados, temos
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}1\,d\theta - \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\cos(2\theta)\,d\theta = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\cdot 0 = \frac{\pi}{4}.

Resposta

\int_{0}^{\pi/2} \sin^{2}\theta \,d\theta = \frac{\pi}{4}.

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