Encontre o limite.
lim x 0^+ tg x ln x

Passo 1

O enunciado pede
limxto0^+tan x;ln x
que é um caso de forma indeterminada 0cdot(-infty). Vamos usar propriedades de limites e equivalências para resolver.

Passo 2

Observamos que tan xto0^+ e ln xto-infty quando xto0^+, gerando a forma 0cdot(-infty). Reescrevemos o produto como quociente:
tan x;ln x ;=;ln xcot x

Passo 3

Para x pequeno vale a aproximação de ângulo pequeno cot xapprox1x. Logo,
ln xcot xapprox ln x1/x=xln x
Portanto
limxto0^+tan x;ln x = limxto0^+xln x

Passo 4

Calculamos limxto0^+ x ln x. Uma forma é reescrever
x ln x = ln x1/x
e aplicar l’Hôpital, pois numerador e denominador vão respectivamente a -infty e +infty. Derivando,
ddx[ln x] = 1x, ddx[1/x] = -1x^2,
então
limxto0^+ ln x1/x = limxto0^+ tfrac1x-tfrac1x^2 = limxto0^+ (-x) = 0

Resposta

0

Exercícios relacionados