(2.0 pontos) Considere o campo vetorial dado por F(x, y)=(2 x y-sen(x), x^2+3 x-e^y), e C é a fronteia orientada positivamente de uma região D que tem área 6 . Suponha que C seja percorrida com orientação positiva apenas uma vez. Calcule integralC F cdot d r.

Passo 1

O enunciado pede o integral de linha fechado
integralC Fcdot d r
onde
F(x,y)=l(P(x,y),,Q(x,y)r)
com
P(x,y)=2xy-sen(x), Q(x,y)=x^2+3x-e^y,
e C é a fronteira orientada positivamente de uma região D de área 6.
O que vamos usar aqui é o Teorema de Green, que transforma o integral de linha fechado num integral duplo sobre D.

Passo 2

Pelo Teorema de Green,
integralC P,dx + Q,dy =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Então basta calcular tfracpartial Qpartial x e tfracpartial Ppartial y.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x =partialpartial xl(x^2+3x-e^yr) =2x+3, partial Ppartial y =partialpartial yl(2xy-sen(x)r) =2x
Logo,
partial Qpartial x-partial Ppartial y =(2x+3)-2x =3

Passo 4

Substituindo em Green:
integralC Fcdot d r =integral duplaD 3,dA =3cdotl(área de Dr) =3cdot6 =18 á

Resposta

18

Exercícios relacionados