Encontre o limite, quando possível, utilizando a regra de lHôspital. Se a regra de lHôspital não puder ser utilizada, explique o porquê.
lim x 0^+(cos x)^1 / x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto0^+(cos x)^1/x^2. Esse limite é do tipo 1^infty, então vamos precisar transformar a potência usando logaritmo e depois aplicar a regra de l’Hôspital.

Passo 2

Definimos y=(cos x)^1/x^2. Para “trazer” o expoente para ficar um quociente, calculamos o logaritmo natural:
ln y=ln(cos x)x^2

Passo 3

Agora analisamos o limite de ln y. Quando xto0^+ temos ln(cos x)to0 e x^2to0, portanto a forma é 0/0 e podemos usar a regra de l’Hôspital.

Passo 4

Aplicando l’Hôspital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
limxto0^+ln(cos x)x^2= limxto0^+ddx[ln(cos x)]ddx[x^2] =limxto0^+-tan x2x

Passo 5

Para avaliar limxto0^+(-tan x)/(2x), usamos que tan xsim x quando x é pequeno. Logo esse limite vale -1/2.

Passo 6

Como limxto0^+ln y=-1/2, concluímos que
limxto0^+y=limxto0^+(cos x)^1/x^2=e^-1/2

Resposta

e^{-1/2}

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