Para a função f(x)=-x^2+2 x
(a) Calcule f(12) e as raízes da função
(b) Determine o conjunto solução da inequação f(x)<0.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=-x^2+2x e pede: (a) calcular fl(12r) e achar as raízes da função; (b) determinar o conjunto solução de f(x)<0. O conteúdo envolve avaliação de função, resolução de equação quadrática e análise de sinal de uma parábola.

Passo 2

Para (a), primeiro avaliamos fl(12r) por substituição e depois resolvemos f(x)=0.
Substituindo x=12 em f(x), temos
fl(tfrac12r) = -l(tfrac12r)^2 + 2cdottfrac12 = -tfrac14 + 1 = tfrac34
Para encontrar as raízes, resolvemos
-x^2 + 2x = 0
-x(x-2) = 0
logo x=0 ou x=2.

Passo 3

Para (b), usamos a fatoração já obtida: f(x)=-x(x-2). A inequação f(x)<0 é
-x(x-2)<0
equivalente a
x(x-2)>0
O produto x(x-2) é positivo se ambos os fatores são positivos ( x>2) ou ambos negativos ( x<0). Assim, o conjunto solução é
(-infty,0)cup(2,infty)

Resposta

fl(12r)=34; as raízes são x=0 e x=2; o conjunto solução de f(x)<0 é (-infty,0)cup(2,infty).

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