Encontre o limite a seguir. Apresentar o raciocínio de forma organizada!
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, estamos trabalhando com limites no infinito, que é uma parte importante de cálculo. Para resolver isso, precisamos identificar quais termos dominam quando $ x $ cresce muito. Basicamente, vamos ver quais partes da expressão crescem mais rápido e, por isso, têm mais peso no resultado final.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente para identificar quais termos são os mais importantes quando $ x $ vai para $ +\infty $.
No numerador temos:
Entre $ e^{2x} $ e $ x^{3} $, o termo exponencial $ e^{2x} $ cresce muito mais rápido que $ x^{3} $ quando $ x $ aumenta. Portanto, $ e^{2x} $ é o termo dominante no numerador.
No denominador temos:
Aqui, o termo exponencial $ e^{5x} $ também cresce mais rápido que $ 4x^{3} $. Então, $ e^{5x} $ é o termo dominante no denominador.
Passo 3
Agora que identificamos os termos dominantes, podemos simplificar a expressão original focando apenas nesses termos:
Isso porque os outros termos se tornam insignificantes em comparação quando $ x $ é muito grande.
Passo 4
Vamos simplificar a fração
. Lembre-se que, de acordo com as propriedades dos expoentes:
Então, a expressão agora está reduzida para $ e^{-3x} $.
Passo 5
Agora, precisamos calcular o limite de $ e^{-3x} $ quando $ x $ vai para $ +\infty $:
Sabemos que $ e^{-3x} $ pode ser reescrito como $ \frac{1}{e^{3x}} $. À medida que $ x $ cresce, $ e^{3x} $ fica muito grande, então $ \frac{1}{e^{3x}} $ fica muito pequeno, aproximando-se de zero.