O método de Taylor pode ser aplicado em diferentes ordens, dependendo da necessidade de aprimoramento da aproximaçäo.
Dado o seguinte PVI:
Aplique o método de Taylor de ordem 2, determine o valor aproximado de y(1) e assinale a alternativa correta.
Selecione a resposta:
A
.
B
.
C
.
D
.
E
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Dado o seguinte PVI:
Selecione a resposta:
A
B
C
D
E
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para aplicar o método de Taylor de ordem 2 em um Problema de Valores Iniciais (PVI). A equação que temos é $ y’ = -2ty $ com a condição inicial $ y(0) = 1 $ e um passo $ h = 0,1 $. Nosso objetivo é encontrar uma aproximação para $ y(1) $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método de Taylor de ordem 2. Esse método usa a informação da derivada primeira e segunda para aproximar a solução da equação diferencial. A fórmula geral para atualizar $ y $ é:
Então, precisamos encontrar a segunda derivada $ y’’ $.
Passo 3
Dada a equação $ y’ = -2ty $, vamos derivar novamente para encontrar $ y’’ $:
Substituindo $ y’ $ da equação original:
Passo 4
Agora temos todas as derivadas que precisamos. Vamos iniciar o processo com $ y(0) = 1 $. O passo $ h = 0,1 $ significa que vamos calcular de $ t = 0 $ até $ t = 1 $ em 10 etapas.
Passo 5
Vamos montar uma tabela para acompanhar os cálculos:
Passo 6
Repetimos esse processo para cada passo até $ n = 10 $:
Resposta
A alternativa correta é a A) 0,44128.