O método de Taylor pode ser aplicado em diferentes ordens, dependendo da necessidade de aprimoramento da aproximaçäo.
Dado o seguinte PVI:
y^prime=-2 t y, y(0)=1, com um passo h=0,1
Aplique o método de Taylor de ordem 2, determine o valor aproximado de y(1) e assinale a alternativa correta.
Selecione a resposta:
A 0,44128.
B 0,41176.
C 0,38776.
D 0,36525.
E 0,31226.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos pede para aplicar o método de Taylor de ordem 2 em um Problema de Valores Iniciais (PVI). A equação que temos é $ y’ = -2ty $ com a condição inicial $ y(0) = 1 $ e um passo $ h = 0,1 $. Nosso objetivo é encontrar uma aproximação para $ y(1) $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método de Taylor de ordem 2. Esse método usa a informação da derivada primeira e segunda para aproximar a solução da equação diferencial. A fórmula geral para atualizar $ y $ é:
y
Então, precisamos encontrar a segunda derivada $ y’’ $.

Passo 3

Dada a equação $ y’ = -2ty $, vamos derivar novamente para encontrar $ y’’ $:
y' = -2ty
Substituindo $ y’ $ da equação original:
y''

Passo 4

Agora temos todas as derivadas que precisamos. Vamos iniciar o processo com $ y(0) = 1 $. O passo $ h = 0,1 $ significa que vamos calcular de $ t = 0 $ até $ t = 1 $ em 10 etapas.

Passo 5

Vamos montar uma tabela para acompanhar os cálculos:
|c|c|c|c|c|c| hline n & tn & yn & y'n = -2tn yn & y''n = -2yn + 4tn^2 yn & yn+1 hline 0 & 0 & 1 & 0 & -2(1) + 0 = -2 & 1 + 0,1(0) + 0,005(-2) = 1 - 0,01 = 0,99 hline

Passo 6

Repetimos esse processo para cada passo até $ n = 10 $:
n = 10

Resposta

A alternativa correta é a A) 0,44128.

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