Resolver as integrais a seguir, apresentando o desenvolvimento de forma organizada:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral para resolver:
Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com a integração de funções racionais que envolvem exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar o cálculo:
Isso é possível porque a integral do somatório é a soma das integrais.
Passo 3
Vamos começar com a primeira parte:
Aqui, vamos usar a substituição. Vamos deixar $ u = \frac{1}{x} $. Então, precisamos encontrar $ du $:
Perceba que $ \frac{dx}{x^{2}} = -du $. Substituindo na integral:
Passo 4
Integrando $ -\int e^{u} , du $:
Agora, voltamos à variável original substituindo $ u = \frac{1}{x} $:
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda parte da integral:
Isso é uma integral de uma função do tipo $ x^{-2} $. Sabemos que:
Aplicando isso:
Resposta
Juntando as duas partes que resolvemos, a integral original é:
Onde $ C $ é a constante de integração.