Resolver as integrais a seguir, apresentando o desenvolvimento de forma organizada:
integral e^1 / x+5x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral para resolver:
integral e^1 / x + 5x^2 , dx
Estamos lidando com cálculo integral, especificamente com a integração de funções racionais que envolvem exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas transformando-as em formas mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar o cálculo:
integral e^1 / xx^2 , dx + integral 5x^2 , dx
Isso é possível porque a integral do somatório é a soma das integrais.

Passo 3

Vamos começar com a primeira parte:
integral e^1 / xx^2 , dx
Aqui, vamos usar a substituição. Vamos deixar $ u = \frac{1}{x} $. Então, precisamos encontrar $ du $:
u = 1x
Perceba que $ \frac{dx}{x^{2}} = -du $. Substituindo na integral:
du

Passo 4

Integrando $ -\int e^{u} , du $:
-integral e^u , du
Agora, voltamos à variável original substituindo $ u = \frac{1}{x} $:
-integral e^u , du = -e^u + C

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda parte da integral:
integral 5x^2 , dx
Isso é uma integral de uma função do tipo $ x^{-2} $. Sabemos que:
x^-2
Aplicando isso:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C (para n neq -1)

Resposta

Juntando as duas partes que resolvemos, a integral original é:
integral e^1 / x + 5x^2 , dx = -e^1x - 5x + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

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