O método de Taylor apresenta uma generalização que melhora os resultados obtidos conforme se amplia o uso das derivadas.
Utilize o método de Taylor de segunda ordem e resolva o seguinte PVI:
dy / dt=t-y, y(0)=2, com um passo h=0,2, para t=1.
Feito isso, assinale a alternativa correta.
Selecione a resposta:
A 2,0009344366.
B 1,9007657783.
C 1,7650990912.
D 1,34359887298.
E 1,1122197776.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre o método de Taylor de segunda ordem, que é uma técnica para aproximar soluções de equações diferenciais. Precisamos resolver a equação diferencial dada:
dydt = t - y, y(0) = 2
Usaremos um passo $ h = 0,2 $ para calcular o valor de $ y $ quando $ t = 1 $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método de Taylor de segunda ordem. Ele usa a derivada primeira e a derivada segunda da função para aproximar o valor de $ y $ em um ponto futuro. A fórmula geral é:
y
Onde:
  • $ y’(t) $ é a derivada da função,
  • $ y’’(t) $ é a segunda derivada.

Passo 3

Vamos calcular a segunda derivada $ y’’(t) $. Sabemos que:
y''(t)
Derivando novamente em relação a $ t $:
y'(t) = t - y

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula de Taylor passo a passo, começando de $ t = 0 $ até $ t = 1 $ com $ h = 0,2 $. Vamos manter o controle dos valores de $ t $ e $ y $ em cada passo.
Passo 0:
t = 0

Passo 5

Passo 1:
t1 = t0 + h = 0 + 0,2 = 0,2
y'(t0) = t0 - y0 = 0 - 2 = -2
y''(t0) = 1 - t0 + y0 = 1 - 0 + 2 = 3
y1 = y0 + h cdot y'(t0) + h^22 cdot y''(t0) = 2 + 0,2 cdot (-2) + 0,042 cdot 3 = 2 - 0,4 + 0,06 = 1,66

Passo 6

Passo 2:
t2 = t1 + h = 0,2 + 0,2 = 0,4
y'(t1) = t1 - y1 = 0,2 - 1,66 = -1,46
y''(t1) = 1 - t1 + y1 = 1 - 0,2 + 1,66 = 2,46
y2 = y1 + h cdot y'(t1) + h^22 cdot y''(t1) = 1,66 + 0,2 cdot (-1,46) + 0,042 cdot 2,46 = 1,66 - 0,292 + 0,0492 approx 1,4172

Passo 7

Passo 3:
t3 = t2 + h = 0,4 + 0,2 = 0,6
y'(t2) = t2 - y2 = 0,4 - 1,4172 approx -1,0172
y''(t2) = 1 - t2 + y2 = 1 - 0,4 + 1,4172 approx 2,0172
y3 = y2 + h cdot y'(t2) + h^22 cdot y''(t2) approx 1,4172 + 0,2 cdot (-1,0172) + 0,042 cdot 2,0172 approx 1,4172 - 0,2034 + 0,0403 approx 1,2541

Passo 8

Passo 4:
t4 = t3 + h = 0,6 + 0,2 = 0,8
y'(t3) = t3 - y3 = 0,6 - 1,2541 approx -0,6541
y''(t3) = 1 - t3 + y3 = 1 - 0,6 + 1,2541 approx 1,6541
y4 = y3 + h cdot y'(t3) + h^22 cdot y''(t3) approx 1,2541 + 0,2 cdot (-0,6541) + 0,042 cdot 1,6541 approx 1,2541 - 0,1308 + 0,0331 approx 1,1564

Passo 9

Passo 5:
t5 = t4 + h = 0,8 + 0,2 = 1,0
y'(t4) = t4 - y4 = 0,8 - 1,1564 approx -0,3564
y''(t4) = 1 - t4 + y4 = 1 - 0,8 + 1,1564 approx 1,3564
y5 = y4 + h cdot y'(t4) + h^22 cdot y''(t4) approx 1,1564 + 0,2 cdot (-0,3564) + 0,042 cdot 1,3564 approx 1,1564 - 0,0713 + 0,0271 approx 1,1122

Resposta

A resposta correta é a alternativa E: 1,1122197776.

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