O método de Taylor apresenta uma generalização que melhora os resultados obtidos conforme se amplia o uso das derivadas.
Utilize o método de Taylor de segunda ordem e resolva o seguinte PVI:
, com um passo
, para
.
Feito isso, assinale a alternativa correta.
Selecione a resposta:
A
.
B
.
C
.
D
.
E
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Utilize o método de Taylor de segunda ordem e resolva o seguinte PVI:
Feito isso, assinale a alternativa correta.
Selecione a resposta:
A
B
C
D
E
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre o método de Taylor de segunda ordem, que é uma técnica para aproximar soluções de equações diferenciais. Precisamos resolver a equação diferencial dada:
Usaremos um passo $ h = 0,2 $ para calcular o valor de $ y $ quando $ t = 1 $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método de Taylor de segunda ordem. Ele usa a derivada primeira e a derivada segunda da função para aproximar o valor de $ y $ em um ponto futuro. A fórmula geral é:
Onde:
- $ y’(t) $ é a derivada da função,
- $ y’’(t) $ é a segunda derivada.
Passo 3
Vamos calcular a segunda derivada $ y’’(t) $. Sabemos que:
Derivando novamente em relação a $ t $:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a fórmula de Taylor passo a passo, começando de $ t = 0 $ até $ t = 1 $ com $ h = 0,2 $. Vamos manter o controle dos valores de $ t $ e $ y $ em cada passo.
Passo 0:
Passo 5
Passo 1:
Passo 6
Passo 2:
Passo 7
Passo 3:
Passo 8
Passo 4:
Passo 9
Passo 5:
Resposta
A resposta correta é a alternativa E:
.