Encontre o limite usando, se possível, a regra de L’Hospital. Caso não seja possível, explique:
lim x infty x ln (2 / x+ln x) .

Passo 1

O enunciado pede
limxtoinfty x lnl(2/x + ln xr)
e sugere usar a regra de L’Hospital. Vamos primeiro verificar se há uma forma indeterminada adequada para aplicá-la e depois analisar o comportamento de cada parte.

Passo 2

Estudamos a soma dentro do logaritmo. Quando xtoinfty temos
2x to 0 e ln x to infty,
logo
2x + ln x ;longrightarrow; infty
Não temos, portanto, uma forma do tipo 0/0 nem infty/infty, mas sim a soma que tende a infty. Por isso a regra de L’Hospital não se aplica neste caso.

Passo 3

Como tfrac2x+ln xtoinfty, o logaritmo também diverge:
ln!l(tfrac2x+ln xr);longrightarrow;ln(infty)=infty

Passo 4

Agora temos um produto
x;times;ln!l(tfrac2x+ln xr) ;sim; x;times;l(algo que vai a inftyr),
e isso cresce sem limite. Logo

Resposta

limxtoinftyxlnl(2/x+ln xr)=+infty

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