Encontre o limite. Use a Regra de L’Hôpital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de L’Hôpital não se aplicar, explique o porquê.
(k) \lim _{x \rightarrow 1}(2-x)^{\ln (\pi x / 2)}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 1}\bigl(2-x\bigr)^{\ln\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)}.
Informações dadas (avaliando as partes quando x\to 1):
2-x \to 1, \qquad \ln\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)\to \ln\!\left(\frac{\pi}{2}\right),
onde \ln\!\left(\frac{\pi}{2}\right) é um número finito (aproximadamente 0,451). O enunciado pede o limite dessa expressão quando x se aproxima de 1.

Passo 2

Observação sobre formas indeterminadas para potências: expressões do tipo f(x)^{g(x)} podem gerar indeterminações. As mais comuns são:
1^\infty\quad\text{(indeterminado)},\qquad 0^0\quad\text{(indeterminado)},\qquad 1^a\quad\text{(quando }a\text{ é finito dá }1).éá
Aqui, ao notar que 2-x\to 1 e o expoente tende a um número finito \ln\!\left(\frac{\pi}{2}\right), esperamos que a potência tenda a 1^{\text{const}}=1. Mas para ficar rigoroso, vamos transformar a expressão usando logaritmo natural e estudar o limite do logaritmo.

Passo 3

Definimos a função que queremos estudar como
y(x)=\bigl(2-x\bigr)^{\ln\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)}.
Tomando logaritmo natural (isso é uma técnica padrão para limites de potências porque transforma potência em produto):
\ln y(x)=\ln\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)\cdot \ln\!\bigl(2-x\bigr).
Aqui estou usando a propriedade do logaritmo: para a>0 e b real, \ln(a^b)=b\ln a. Note que 2-x>0 perto de x=1, então o uso do \ln é legítimo.

Passo 4

Agora avaliamos os limites das duas parcelas do produto:
\lim_{x\to 1}\ln\!\left(\frac{\pi x}{2}\right)=\ln\!\left(\frac{\pi}{2}\right)\quad(\text{continuidade do }\ln\text{ e da função linear }x\mapsto \pi x/2),çã
\lim_{x\to 1}\ln\!\bigl(2-x\bigr)=\ln(1)=0.
Portanto a expressão \ln y(x) é um produto em que um fator tende a um número finito \ln\!\left(\frac{\pi}{2}\right) e o outro tende a 0. Pela propriedade dos limites (produto de limites quando existem e são finitos), temos
\lim_{x\to 1}\ln y(x)=\ln\!\left(\frac{\pi}{2}\right)\cdot 0 = 0.

Passo 5

Como \lim_{x\to 1}\ln y(x)=0 e a função exponencial t\mapsto e^{t} é contínua, aplicamos a exponencial para retornar de \ln y a y:
\lim_{x\to 1} y(x)=\lim_{x\to 1} e^{\ln y(x)}=e^{\lim_{x\to 1}\ln y(x)}=e^{0}=1.
Isso mostra de maneira rigorosa que o limite pedido é 1.

Passo 6

Comentário sobre a Regra de L’Hôpital: não foi necessário aplicá-la. A aplicação típica de L’Hôpital aparece quando, ao tomar logaritmo, obtemos uma forma do tipo 0\cdot\infty que é convertida em uma forma \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty}. Aqui obtivemos um produto cuja um fator tende a 0 e o outro a um número finito; não há indeterminação que exija L’Hôpital. Se o expoente tivesse tendido a \infty com a base tendendo a 1, aí sim teríamos a indeterminação 1^\infty e usaríamos log + transformação em quociente para aplicar L’Hôpital.

Passo 7

Resumo didático final (para decorar na prova): quando f(x)\to 1 e g(x)\to L finito, então f(x)^{g(x)}\to 1^L=1. Uma forma rigorosa é colocar y=f^{g}, tomar \ln y=g\ln f e observar que \ln f\to 0 e g\to L finito, logo g\ln f\to 0, e então y\to e^0=1.

Resposta

1

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