Encontre o limite. Use a Regra de L’Hôpital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de L’Hôpital não se aplicar, explique o porquê.
(k)
(k)
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas (avaliando as partes quando
):
onde
é um número finito (aproximadamente
). O enunciado pede o limite dessa expressão quando
se aproxima de
.
Passo 2
Observação sobre formas indeterminadas para potências: expressões do tipo
podem gerar indeterminações. As mais comuns são:
Aqui, ao notar que
e o expoente tende a um número finito
, esperamos que a potência tenda a
. Mas para ficar rigoroso, vamos transformar a expressão usando logaritmo natural e estudar o limite do logaritmo.
Passo 3
Definimos a função que queremos estudar como
Tomando logaritmo natural (isso é uma técnica padrão para limites de potências porque transforma potência em produto):
Aqui estou usando a propriedade do logaritmo: para
e
real,
. Note que
perto de
, então o uso do
é legítimo.
Passo 4
Agora avaliamos os limites das duas parcelas do produto:
Portanto a expressão
é um produto em que um fator tende a um número finito
e o outro tende a
. Pela propriedade dos limites (produto de limites quando existem e são finitos), temos
Passo 5
Como
e a função exponencial
é contínua, aplicamos a exponencial para retornar de
a
:
Isso mostra de maneira rigorosa que o limite pedido é
.
Passo 6
Comentário sobre a Regra de L’Hôpital: não foi necessário aplicá-la. A aplicação típica de L’Hôpital aparece quando, ao tomar logaritmo, obtemos uma forma do tipo
que é convertida em uma forma
ou
. Aqui obtivemos um produto cuja um fator tende a
e o outro a um número finito; não há indeterminação que exija L’Hôpital. Se o expoente tivesse tendido a
com a base tendendo a
, aí sim teríamos a indeterminação
e usaríamos log + transformação em quociente para aplicar L’Hôpital.
Passo 7
Resumo didático final (para decorar na prova): quando
e
finito, então
. Uma forma rigorosa é colocar
, tomar
e observar que
e
finito, logo
, e então
.