Encontre o limite. Use a Regra de L’Hôpital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de L’Hôpital não se aplicar, explique o porquê.
(i)
(i)
Passo 1
Enunciado: calcular
.\n
O que é pedido: encontrar o valor do limite quando tende a
da função
.\n
Informações dadas/observações úteis do enunciado:
e
são positivos para
grande;
cresce muito mais rápido que
. Nada mais é dado explicitamente.
O que é pedido: encontrar o valor do limite quando
Informações dadas/observações úteis do enunciado:
Passo 2
Truque padrão (muito útil nestes limites com potência): tomar logaritmo natural para transformar a potência em produto. Defina
Como a função exponencial é contínua, podemos calcular
e depois aplicar exponencial. Escrevemos
Explicar o porquê:
. Se
existe finito, então
.
Passo 3
Analisar a forma indeterminada de
. Para
:
cresce como
(logo tende a
) e o denominador
também tende a
. Portanto temos uma forma
, condição que permite usar a Regra de L’Hôpital. Vou aplicar L’Hôpital aqui porque é direto e limpo.
Passo 4
Aplicando a Regra de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador em relação a
.
Derivada do denominador é
.
Derivada do numerador usa regra da cadeia: se
então
. Aqui
. Logo
Derivada do denominador
Derivada do numerador
Pela Regra de L’Hôpital,
Passo 5
Calcular
. Dividindo numerador e denominador por
(técnica padrão para comparar termos exponenciais e polinomiais),
Quando
temos
e
. Portanto o quociente tende a
Logo
.
Passo 6
Concluir o valor do limite original: como
, temos
Observação alternativa (sem L’Hôpital), só para fixar a intuição: escrever
. Então
e
porque
e
quando
. Isso dá a mesma conclusão.