Encontre o limite. Use a Regra de L’Hôpital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de L’Hôpital não se aplicar, explique o porquê.
(i) \lim _{x \rightarrow \infty}\left(e^{x}+x\right)^{1 / x}

Passo 1

Enunciado: calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty}\left(e^{x}+x\right)^{1/x}.\n
O que é pedido: encontrar o valor do limite quando x tende a +\infty da função \left(e^{x}+x\right)^{1/x}.\n
Informações dadas/observações úteis do enunciado:
\,e^{x} e x são positivos para x grande; \,e^{x} cresce muito mais rápido que x. Nada mais é dado explicitamente.

Passo 2

Truque padrão (muito útil nestes limites com potência): tomar logaritmo natural para transformar a potência em produto. Defina
L=\lim_{x\to\infty}\left(e^{x}+x\right)^{1/x}.
Como a função exponencial é contínua, podemos calcular \ln L e depois aplicar exponencial. Escrevemos
\ln L=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln\!\big(e^{x}+x\big)}{x}.
Explicar o porquê: \ln\big((e^{x}+x)^{1/x}\big)=\tfrac{1}{x}\ln\big(e^{x}+x\big). Se \ln L existe finito, então L=\exp(\ln L).

Passo 3

Analisar a forma indeterminada de \displaystyle \frac{\ln\big(e^{x}+x\big)}{x}. Para x\to\infty:
\ln\big(e^{x}+x\big) cresce como \ln(e^{x})=x (logo tende a +\infty) e o denominador x também tende a +\infty. Portanto temos uma forma \infty/\infty, condição que permite usar a Regra de L’Hôpital. Vou aplicar L’Hôpital aqui porque é direto e limpo.

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador em relação a x.
Derivada do denominador x é 1.
Derivada do numerador \ln\big(e^{x}+x\big) usa regra da cadeia: se u(x)=e^{x}+x então \big(\ln u\big)'=u'/u. Aqui u'(x)=e^{x}+1. Logo
\frac{d}{dx}\ln\big(e^{x}+x\big)=\frac{e^{x}+1}{e^{x}+x}.
Pela Regra de L’Hôpital,
\ln L=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln\big(e^{x}+x\big)}{x} =\lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}+1}{e^{x}+x}.

Passo 5

Calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{e^{x}+1}{e^{x}+x}. Dividindo numerador e denominador por e^{x} (técnica padrão para comparar termos exponenciais e polinomiais),
\frac{e^{x}+1}{e^{x}+x}=\frac{1+e^{-x}}{1+x e^{-x}}.
Quando x\to\infty temos e^{-x}\to 0 e x e^{-x}\to 0. Portanto o quociente tende a
\frac{1+0}{1+0}=1.
Logo \ln L=1.

Passo 6

Concluir o valor do limite original: como \ln L=1, temos
L=e^{\ln L}=e^{1}=e.
Observação alternativa (sem L’Hôpital), só para fixar a intuição: escrever \ln(e^{x}+x)=x+\ln(1+x e^{-x}). Então \frac{\ln(e^{x}+x)}{x}=1+\frac{\ln(1+x e^{-x})}{x} e \frac{\ln(1+x e^{-x})}{x}\to 0 porque x e^{-x}\to 0 e \ln(1+t)\sim t quando t\to 0. Isso dá a mesma conclusão.

Resposta

e

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