Encontre o limite. Use a Regra de L’Hôpital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de L’Hôpital não se aplicar, explique o porquê.
(j) \lim _{x \rightarrow 0^{+}}(4 x+1)^{\cot x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0^{+}}(4x+1)^{\cot x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{quando }x\to 0^{+}\text{ temos }4x+1\to 1,
\text{quando }x\to 0^{+}\text{ temos }\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}\to +\infty.
Portanto, a expressão tende a uma forma do tipo 1^{\infty}, que é uma forma indeterminada e exige manipulação para avaliar o limite.

Passo 2

Transformação padrão para formas 1^{\infty}: escrevemos a função como y=(4x+1)^{\cot x} e estudamos o limite de \ln y. Isso é válido porque a função exponencial é contínua: se \lim \ln y = L então \lim y = e^{L}. Calculando,
\ln y=\cot x\cdot \ln(1+4x).
Para avaliar \lim_{x\to 0^{+}}\ln y é útil reescrever o produto como uma razão:
\ln y=\frac{\ln(1+4x)}{\tan x}.

Passo 3

Analisemos o limite da razão acima. Quando x\to 0^{+} temos
\ln(1+4x)\to 0\quad\text{e}\quad \tan x\to 0,
ou seja é uma forma 0/0, então a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada (condições: numerador e denominador tendem a 0 ou \pm\infty, são diferenciáveis numa vizinhança exceto possivelmente no ponto, e o limite das derivadas existe ou é \pm\infty). Vamos calcular as derivadas necessárias.

Passo 4

Derivadas:
\frac{d}{dx}\bigl(\ln(1+4x)\bigr)=\frac{4}{1+4x},
\frac{d}{dx}\bigl(\tan x\bigr)=\operatorname{sec}^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}.
Aplicando a Regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln(1+4x)}{\tan x} = \lim_{x\to 0^{+}}\frac{\dfrac{4}{1+4x}}{\dfrac{1}{\cos^{2}x}} = \lim_{x\to 0^{+}} \frac{4}{1+4x}\cdot \cos^{2}x.
Agora avaliamos o limite direto: quando x\to 0^{+} temos \cos^{2}x\to 1 e 1+4x\to 1, então
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{4}{1+4x}\cdot \cos^{2}x = \frac{4}{1}\cdot 1 = 4.
Portanto \lim_{x\to 0^{+}}\ln y = 4.

Passo 5

Voltando à função original: se \ln y\to 4 então
\lim_{x\to 0^{+}} y = \lim_{x\to 0^{+}} (4x+1)^{\cot x} = e^{4}.
Assim temos o resultado final. (Observação didática: a Regra de L’Hôpital foi aplicada de forma direta e legítima porque obtivemos a forma 0/0.)

Passo 6

Método alternativo mais elementar (sem derivadas), útil para a prova: escrevemos
\ln y=\ln(1+4x)\cdot \cot x = \left(\frac{\ln(1+4x)}{x}\right)\cdot (x\cot x).
Usamos limites fundamentais:
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+4x)}{4x}=1\quad\Rightarrow\quad \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+4x)}{x}=4,
\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1\quad\Rightarrow\quad \lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin x}=1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0}\cos x=1,
portanto
\lim_{x\to 0} x\cot x=\lim_{x\to 0} x\frac{\cos x}{\sin x}=\lim_{x\to 0}\cos x\cdot\frac{x}{\sin x}=1.
Multiplicando os limites:
\lim_{x\to 0}\ln y = 4\cdot 1 = 4,
e novamente \lim y = e^{4}. Esse caminho evita L’Hôpital e usa limites padrão que geralmente são mais rápidos na prova.

Resposta

e^{4}

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