Encontre o limite. Use a Regra de L’Hôpital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de L’Hôpital não se aplicar, explique o porquê.
(j)
(j)
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Portanto, a expressão tende a uma forma do tipo
, que é uma forma indeterminada e exige manipulação para avaliar o limite.
Passo 2
Transformação padrão para formas
: escrevemos a função como
e estudamos o limite de
. Isso é válido porque a função exponencial é contínua: se
então
. Calculando,
Para avaliar
é útil reescrever o produto como uma razão:
Passo 3
Analisemos o limite da razão acima. Quando
temos
ou seja é uma forma
, então a Regra de L’Hôpital pode ser aplicada (condições: numerador e denominador tendem a
ou
, são diferenciáveis numa vizinhança exceto possivelmente no ponto, e o limite das derivadas existe ou é
). Vamos calcular as derivadas necessárias.
Passo 4
Derivadas:
Aplicando a Regra de L’Hôpital,
Agora avaliamos o limite direto: quando
temos
e
, então
Portanto
.
Passo 5
Voltando à função original: se
então
Assim temos o resultado final. (Observação didática: a Regra de L’Hôpital foi aplicada de forma direta e legítima porque obtivemos a forma
.)
Passo 6
Método alternativo mais elementar (sem derivadas), útil para a prova: escrevemos
Usamos limites fundamentais:
portanto
Multiplicando os limites:
e novamente
. Esse caminho evita L’Hôpital e usa limites padrão que geralmente são mais rápidos na prova.