Determine os intervalos de convergência de
e
sabendo que
Passo 1
O enunciado pede que eu determine os intervalos de convergência de
e de
, onde está dado
Informações relevantes fornecidas:
- É uma série de potências centrada em
, com termo geral . - Preciso analisar a convergência para valores de
na reta real, inclusive nos pontos onde (os extremos do raio de convergência).
Passo 2
Calcular o raio de convergência
da série de potências. Método/ferramenta: fórmula geral para série de potências
:
Aqui
. Vou calcular
:
Como
quando
, segue
Portanto
Interpretação prática: a série converge (pelo menos) para todos
com
. Nos pontos com
(ou seja,
e
) é preciso testar separadamente.
Passo 3
Testes nos extremos para
.
- Em
: , a série vira
Isto é uma série
- com
. Lembrando o fato: a série
converge se e somente se
. Assim
converge (absolutamente). Logo
converge.
- Em
: , a série vira
Como
converge, a série original converge absolutamente aqui também. Logo
converge.
Conclusão parcial: a série
converge para todo
com
e também em
e
. Portanto o intervalo de convergência de
é o intervalo fechado
.
Passo 4
Derivação termo a termo para achar
(válida no interior do disco de convergência). Teorema usado: uma série de potências pode ser diferenciada termo a termo no intervalo onde converge absolutamente (pelo menos para
), e a série resultante tem o mesmo raio
.
Derivo o termo geral
. Derivando em relação a
:
Logo, para
,
Posso reindexar (opcional) como
mas tanto faz. Agora determino o raio de convergência da série de
: os coeficientes são
(ou
), e
logo o raio continua sendo
. Assim
converge (pelo menos) para
. Resta testar os extremos
e
.
Passo 5
Testes nos extremos para
.
- Em
: , a série de vira
que é a série harmônica e diverge. Portanto
não existe (a série diverge).
- Em
: , a série de vira
Isto é a série harmônica alternada. Aplicando o teste de Leibniz (alternating series test): se os termos positivos
são decrescentes e tendem a
, então a série alternada converge. Aqui
é decrescente e tende a
, logo a série converge. Observação importante:
diverge, então a convergência em
é apenas condicional (não absoluta).
Conclusão:
converge para
com
e em
, mas diverge em
. Ou seja, o intervalo de convergência de
é
.
Passo 6
Resumo final e observações rápidas (motivação para prova):
- Usei a fórmula do raio de convergência para séries de potências e calculei
das raízes -ésimas dos coeficientes. - Nos extremos, apliquei testes clássicos: série
(para ) e teste de Leibniz para séries alternadas, além do conhecimento de que a série harmônica diverge. - Importante na prova: diferencie termo a termo apenas dentro do raio de convergência; depois verifique os extremos separadamente.