Determine os intervalos de convergência de f(x) e f^{\prime}(x) sabendo que
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{n}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine os intervalos de convergência de f(x) e de f'(x), onde está dado
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^{n}}{n^{2}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • É uma série de potências centrada em x=1, com termo geral \displaystyle \frac{(x-1)^n}{n^2}.
  • Preciso analisar a convergência para valores de x na reta real, inclusive nos pontos onde |x-1|=1 (os extremos do raio de convergência).

Passo 2

Calcular o raio de convergência R da série de potências. Método/ferramenta: fórmula geral para série de potências \sum a_n (x-c)^n:
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Aqui a_n=\dfrac{1}{n^{2}}. Vou calcular \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}:
\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{\frac{1}{n^{2}}}=\frac{1}{(n^{2})^{1/n}}=\frac{1}{n^{2/n}}.
Como n^{2/n}=e^{(2/n)\ln n}\to e^{0}=1 quando n\to\infty, segue
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1.
Portanto
R=\frac{1}{1}=1.
Interpretação prática: a série converge (pelo menos) para todos x com |x-1|<1. Nos pontos com |x-1|=1 (ou seja, x=0 e x=2) é preciso testar separadamente.

Passo 3

Testes nos extremos para f(x).
  • Em x=2: (x-1)=1, a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1^{n}}{n^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.
Isto é uma série p- com p=2. Lembrando o fato: a série \sum 1/n^{p} converge se e somente se p>1. Assim \sum 1/n^{2} converge (absolutamente). Logo f(2) converge.
  • Em x=0: (x-1)=-1, a série vira
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}.
Como \sum |(-1)^n|/n^{2}=\sum 1/n^{2} converge, a série original converge absolutamente aqui também. Logo f(0) converge.
Conclusão parcial: a série f(x) converge para todo x com |x-1|<1 e também em x=0 e x=2. Portanto o intervalo de convergência de f é o intervalo fechado [0,2].

Passo 4

Derivação termo a termo para achar f'(x) (válida no interior do disco de convergência). Teorema usado: uma série de potências pode ser diferenciada termo a termo no intervalo onde converge absolutamente (pelo menos para |x-1|<R), e a série resultante tem o mesmo raio R.
Derivo o termo geral \dfrac{(x-1)^{n}}{n^{2}}. Derivando em relação a x:
\frac{d}{dx}\left(\frac{(x-1)^{n}}{n^{2}}\right)=\frac{n(x-1)^{n-1}}{n^{2}}=\frac{(x-1)^{n-1}}{n}.
Logo, para |x-1|<1,
f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^{n-1}}{n}.
Posso reindexar (opcional) como
f'(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(x-1)^{m}}{m+1},
mas tanto faz. Agora determino o raio de convergência da série de f'(x): os coeficientes são b_n=\dfrac{1}{n} (ou 1/(m+1)), e
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n}}=1,
logo o raio continua sendo R=1. Assim f'(x) converge (pelo menos) para |x-1|<1. Resta testar os extremos x=0 e x=2.

Passo 5

Testes nos extremos para f'(x).
  • Em x=2: (x-1)=1, a série de f' vira
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1^{\,n-1}}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica e diverge. Portanto f'(2) não existe (a série diverge).
  • Em x=0: (x-1)=-1, a série de f' vira
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}.
Isto é a série harmônica alternada. Aplicando o teste de Leibniz (alternating series test): se os termos positivos 1/n são decrescentes e tendem a 0, então a série alternada converge. Aqui 1/n é decrescente e tende a 0, logo a série converge. Observação importante: \sum |(-1)^{n-1}/n|=\sum 1/n diverge, então a convergência em x=0 é apenas condicional (não absoluta).
Conclusão: f' converge para x com |x-1|<1 e em x=0, mas diverge em x=2. Ou seja, o intervalo de convergência de f' é [0,2).

Passo 6

Resumo final e observações rápidas (motivação para prova):
  • Usei a fórmula do raio de convergência para séries de potências e calculei \limsup das raízes n-ésimas dos coeficientes.
  • Nos extremos, apliquei testes clássicos: série p (para p=2) e teste de Leibniz para séries alternadas, além do conhecimento de que a série harmônica diverge.
  • Importante na prova: diferencie termo a termo apenas dentro do raio de convergência; depois verifique os extremos separadamente.

Resposta

f(x) converge em [0,2]\n
f'(x) converge em [0,2)

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