Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hŝpital não se aplicar, explique o porquê.
lim x infty ln (ln x) arctan (x^2)x arctan (x)

Passo 1

O enunciado pede
limxtoinftyln(ln x),arctan(x^2)x,arctan(x)
Estamos tratando de limite de funções envolvendo logaritmo e arcotangente. A princípio temos uma forma infty/infty, então poderíamos usar a regra de L’H^opital, mas vale buscar um método mais elementar observando o comportamento assintótico de cada fator.

Passo 2

Note que, à medida que xtoinfty,
arctan(x^2)topi2 e arctan(x)topi2
Logo cada arcotangente tende a uma constante positiva.

Passo 3

Como ambas as arcotangentes tendem a pi/2, o quociente delas tende a 1:
arctan(x^2)arctan(x);longrightarrow;1
Podemos então reescrever o limite como
limxtoinftyln(ln x)x,cdot arctan(x^2)arctan(x) = limxtoinftyln(ln x)x ;times;1 = limxtoinftyln(ln x)x

Passo 4

Agora basta calcular
limxtoinftyln(ln x)x
Aqui temos novamente forma infty/infty, então aplicamos L’H^opital: derivada do numerador é
ddxl[ln(ln x)r] =1x,ln x,
e do denominador é 1. Portanto o novo limite é
limxtoinfty1x,ln x = 0,
pois x,ln xtoinfty.

Resposta

,0

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