Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hŝpital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede
Estamos tratando de limite de funções envolvendo logaritmo e arcotangente. A princípio temos uma forma
, então poderíamos usar a regra de L’H^opital, mas vale buscar um método mais elementar observando o comportamento assintótico de cada fator.
Passo 2
Note que, à medida que
,
Logo cada arcotangente tende a uma constante positiva.
Passo 3
Como ambas as arcotangentes tendem a
, o quociente delas tende a
:
Podemos então reescrever o limite como
Passo 4
Agora basta calcular
Aqui temos novamente forma
, então aplicamos L’H^opital: derivada do numerador é
e do denominador é
. Portanto o novo limite é
pois
.