Sejam A=(2,0,3), B=(-1,1,2) e C=(4,1,2). Calcule A B times A C.
P15. Encontre todos os vetores de norma igual a 5 que são ortogonais a u=(1,1,0) e v=(2,-1,3).

Passo 1

O enunciado dá dois problemas:
1. Calcular AB times AC, onde
A = (2,0,3), B = (-1,1,2), C = (4,1,2)
2. Encontrar todos os vetores x = (x,y,z) tais que |x| = 5 e x perp u, x perp v para
u = (1,1,0), v = (2,-1,3)
Para isso vamos usar definição de subtração de vetores, produto vetorial, sistema linear para ortogonalidade e fórmula da norma.

Passo 2

Calculemos primeiro
AB=B-A=(-1-2,;1-0,;2-3)=(-3,,1,,-1),
AC=C-A=(4-2,;1-0,;2-3)=(2,,1,,-1)

Passo 3

O produto vetorial ABtimesAC é dado por
ABtimesAC = i&j&k -3&1&-1 2&1&-1 =l(1cdot(-1)-(-1)cdot1,;-l(-3cdot(-1)-(-1)cdot2r),;-3cdot1-1cdot2r)
Calculando cada componente:
i-componente= -1 -(-1)=0, j-componente=-(3-(-2))=-5, k-componente=-3-2=-5
Logo
ABtimesAC=(0,,-5,,-5)

Passo 4

Para o segundo problema queremos vec x=(x,y,z) com
vec xcdotvec u=0;Rightarrow;x+y+0cdot z=0,
vec xcdotvec v=0;Rightarrow;2x - y +3z=0
Do primeiro y=-x. Substituindo no segundo:
2x-(-x)+3z=0Rightarrow3x+3z=0Rightarrow z=-x
Logo todo vetor ortogonal pertence à reta gerada por
(x,y,z)=t,(1,-1,-1), tinR

Passo 5

Impondo |vec x|=5:
|t,(1,-1,-1)|=|t|raiz1^2+(-1)^2+(-1)^2=|t|raiz3=5 Rightarrow |t|=5raiz3
Assim os únicos vetores são
vec x=pm5raiz3,(1,-1,-1) =l(pm5raiz3,,mp5raiz3,,mp5raiz3r)

Resposta

ABtimesAC=(0,-5,-5)
Os vetores de norma 5 ortogonais a vec u e vec v são
pm5raiz3,(1,-1,-1)

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