Encontre a solução geral do sistema de equações:
x^prime=(cc3 & -2 2 & -2) x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema de EDO lineares com coeficientes constantes:
x' = 3 & -2 2 & -2x
O método consiste em achar os autovalores de A, em seguida os autovetores correspondentes, e montar a solução como combinação linear de e^lambda tv.

Passo 2

Escrevendo o polinômio característico de A temos
det(A - lambda I) = det3-lambda & -2 2 & -2-lambda = (3-lambda)(-2-lambda) - (-2)cdot2
Expandindo,
det(A - lambda I) = -6 -3lambda +2lambda + lambda^2 +4 = lambda^2 - lambda - 2 = 0
Logo os autovalores são
lambda = 1pmraiz1+82 = 2 e -1

Passo 3

Para lambda1=2 resolvemos
(A - 2I)v = 0 Longrightarrow 1 & -2 2 & -4v = 0
Da primeira linha v1-2v2=0, segue v1=2v2. Tomando v2=1 obtemos
v^(1) = 2 1

Passo 4

Para lambda2=-1 resolvemos
(A + I)v = 0 Longrightarrow 4 & -2 2 & -1v = 0
Da primeira linha 4v1-2v2=0, segue 2v1=v2. Tomando v1=1 obtemos
v^(2) = 1 2

Passo 5

Como os autovalores são distintos, a solução geral é
x(t) = C1,e^2t21 + C2,e^-t12,
onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Resposta

x(t) = C1,e^2t21 + C2,e^-t12

Exercícios relacionados