Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hŝpital não se aplicar, explique o porquê.
lim x 0^+(1x-1e^x-1)

Passo 1

O enunciado pede
limxto0^+l(1x-1e^x-1r)
Estamos diante de uma forma indeterminada do tipo infty-infty. Para resolver, vamos primeiro juntar as frações num único quociente e depois aplicar a regra de l’Hôpital.

Passo 2

Juntando as frações com denominador comum x(e^x-1), obtemos
1x-1e^x-1 =e^x-1 - xx(e^x-1)
Note que, quando xto0, o numerador e^x-1 - xto0 e o denominador x(e^x-1)to0, caracterizando uma forma 0/0.

Passo 3

Como temos 00, podemos usar l’Hôpital. Derivando numerador e denomidador em relação a x:
numerador
ddxl(e^x-1 - xr)=e^x-1,
denominador
ddxl[x(e^x-1)r] =(e^x-1)+x,e^x
Logo a expressão do limite vira
limxto0^+e^x-1(e^x-1)+x,e^x

Passo 4

Para xto0, note que ;e^x-1=xcdote^x-1x e e^x-1xto1. Então
e^x-1(e^x-1)+x,e^x =xe^x-1x,xe^x-1x+x,e^x =e^x-1xe^x-1x+e^x ;xrightarrow[xto0];11+1=12

Resposta

12

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