Encontre a solução geral do sistema de equações:
x^prime=(ll3 & -2 4 & -1) x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear de 1º ordem com coeficientes constantes
x' = A,x,
onde
A = 3 & -2 [6pt] 4 & -1,
e x = (x1,x2)^T. Vamos usar o método de autovalores e autovetores, que consiste em (i) achar os autovalores lambda de A pela equação característica det(A-lambda I)=0, (ii) para cada autovalor, encontrar um autovetor não-nulo, e (iii) montar a solução real geral extraindo as partes real e imaginária caso os autovalores sejam complexos.]

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I) = det!3-lambda & -2[3pt]4 & -1-lambda = (3-lambda)(-1-lambda) - (-2)cdot4
Expandindo,
(3-lambda)(-1-lambda) +8 = -3 -3lambda +lambda +lambda^2 +8 = lambda^2 -2lambda +5
Portanto a equação característica é
lambda^2 -2lambda +5 = 0,
cuja solução é
lambda = 2 pm raiz(-2)^2 -4cdot1cdot52 = 2 pm raiz-162 = 1 pm 2,i ]

Passo 3

Tomamos o autovalor e resolvemos :
Da primeira linha vem
Escolhendo , temos o autovetor complexo
Logo uma solução complexa do sistema é
]

Passo 4

Para obter a solução real geral, escrevemos
e^(1+2,i)t = e^t(cos2t + isin2t) e v = Re v + i,Im v = 11 + i0-1
Multiplicando e separando as partes real e imaginária, obtemos dois vetores fundamentais:
e^t cos2t[3pt] cos2t + sin2t , e^t sin2t[3pt] sin2t - cos2t
Assim, a combinação linear real desses dois vetores dá a solução geral.]

Resposta

A solução geral do sistema é
x(t) = C1,e^t cos2t[4pt] cos2t + sin2t + C2,e^t sin2t[4pt] sin2t - cos2t ,
onde C1 e C2 são constantes reais determinadas pelas condições iniciais.]

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