Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
lim x 1(xx-1-1ln x)

Passo 1

Estamos buscando
limxto1l(xx-1-1ln xr)
Ao olhar para cada parcela, vemos que tfracxx-1topminfty e tfrac1ln xtopminfty, mas a diferença pode ser finita. Para tratar essa indeterminação do tipo infty-infty, vamos colocar tudo sobre um mesmo denominador, o que nos dará uma forma 0/0 adequada para aplicar a Regra de L’H^opital.

Passo 2

Juntamos as frações:
xx-1-1ln x =xln x-(x-1)(x-1),ln x
Quando xto1, o numerador xln x-(x-1)to1cdot0-0=0 e o denominador (x-1)ln xto0cdot0=0. Logo temos 0/0.

Passo 3

Aplicamos a Regra de L’H^opital à fração
xln x-(x-1)(x-1)ln x
Derivando numerador e denominador em relação a x:
  • Numerador’ = ddx[xln x-(x-1)]=ln x+1-1=ln x
  • Denominador’ = ddx[(x-1)ln x] =ln x+(x-1)cdot1x
    Fica então
limxto1 ln xln x+tfracx-1x,
que ainda é 0/0 quando xto1.

Passo 4

Reaplicamos L’H^opital: derivando de novo
  • Numerador’’ = ddx[ln x]=tfrac1x
  • Denominador’’ = ddxl(ln x+tfracx-1xr) =tfrac1x+tfrac1x^2
    Portanto o limite vira
limxto1 tfrac1xtfrac1x+tfrac1x^2 =11+1 =tfrac12

Resposta

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