Exercício 15. (ELJ 70) Seja f: R^n R^n um difeomorfismo local. Mostre que
Se A subset R^n é um conjunto aberto, então f(A) também é.

Passo 1

O enunciado diz que temos fcolon R^ntoR^n um difeomorfismo local e que AsubsetR^n é aberto. O que queremos provar é que f(A) também é aberto. A ideia central é usar que um difeomorfismo local é, em cada ponto, um homeomorfismo entre vizinhanças abertas, e homeomorfismos enviam abertos em abertos.

Passo 2

Seja ain A. Como f é difeomorfismo local, existe uma vizinhança aberta U de a tal que
f|Ucolon U to f(U)
é um difeomorfismo entre conjuntos abertos. Em particular f|U é um homeomorfismo, logo:
  • Ucap A é aberto em U (pois A é aberto em R^n e U é aberto).
  • Como f|U é homeomorfismo, f(Ucap A) é aberto em f(U).
  • E como f(U) é aberto em R^n, concluímos que f(Ucap A) é aberto em R^n.
Além disso, ain Ucap A implica f(a)in f(Ucap A)subset f(A). Assim para cada ponto de f(A) encontramos uma vizinhança aberta contida em f(A).

Passo 3

Como o ponto ain A foi arbitrário, cada yin f(A) tem uma vizinhança aberta f(Ucap A)subset f(A). Logo
f(A);=;cupain Af(Uacap A)
é união de abertos em R^n e, portanto, é aberto.

Resposta

f(A) é um conjunto aberto em R^n.

Exercícios relacionados