Exercício 15. (ELJ 70) Seja
um difeomorfismo local. Mostre que
Se
é um conjunto aberto, então
também é.
Se
Passo 1
O enunciado diz que temos
um difeomorfismo local e que
é aberto. O que queremos provar é que
também é aberto. A ideia central é usar que um difeomorfismo local é, em cada ponto, um homeomorfismo entre vizinhanças abertas, e homeomorfismos enviam abertos em abertos.
Passo 2
Seja
. Como
é difeomorfismo local, existe uma vizinhança aberta
de
tal que
é um difeomorfismo entre conjuntos abertos. Em particular
é um homeomorfismo, logo:
-
é aberto em (pois é aberto em e é aberto). - Como
é homeomorfismo, é aberto em . - E como
é aberto em , concluímos que é aberto em .
Além disso,
implica
. Assim para cada ponto de
encontramos uma vizinhança aberta contida em
.
Passo 3
Como o ponto
foi arbitrário, cada
tem uma vizinhança aberta
. Logo
é união de abertos em
e, portanto, é aberto.