Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
sumn=1^infty nn^4+2 raizn

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^infty nn^4 + 2raizn
O conteúdo envolvido é o estudo de séries numéricas e, em especial, o uso do teste de comparação (direto ou de limite) com séries do tipo p-série.

Passo 2

Para entender o comportamento de an = nn^4 + 2raizn quando n cresce, note que n^4 domina 2raizn. Logo, para grandes n,
an approx nn^4 = 1n^3
Como a série sum 1/n^3 é convergente (é uma p-série com p=3>1), isso indica que nossa série também deve convergir.

Passo 3

Agora aplicamos o teste de comparação direto. Para todo n>=1,
n^4 + 2raizn >= n^4 Longrightarrow 0 <= an = nn^4 + 2raizn <= nn^4 = 1n^3
Como sumn=1^infty tfrac1n^3 converge, pelo critério da comparação direta a série original também converge.

Passo 4

Alternativamente, poderíamos usar o teste de comparação por limite. Definindo bn = 1/n^3, temos
limntoinfty anbn = limntoinfty tfracnn^4+2raizntfrac1n^3 = limntoinfty n^4n^4 + 2raizn = 1
Como sum bn converge e o limite é finito e não nulo, a série sum an converge também.

Resposta

A série
sumn=1^infty nn^4 + 2raizn
converge.

Exercícios relacionados