Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
O conteúdo envolvido é o estudo de séries numéricas e, em especial, o uso do teste de comparação (direto ou de limite) com séries do tipo
-série.
Passo 2
Para entender o comportamento de
quando
cresce, note que
domina
. Logo, para grandes
,
Como a série
é convergente (é uma
-série com
), isso indica que nossa série também deve convergir.
Passo 3
Agora aplicamos o teste de comparação direto. Para todo
,
Como
converge, pelo critério da comparação direta a série original também converge.
Passo 4
Alternativamente, poderíamos usar o teste de comparação por limite. Definindo
, temos
Como
converge e o limite é finito e não nulo, a série
converge também.
Resposta
A série
converge.