Exercício 14. (ELJ 68) Sejam f, g, h: R^n R^n funções diferenciáveis, em que h é um difeomorfismo. Suponha que f=h^-1 circ g circ h e f(p)=p para um certo p in R^n. Mostre que:
a) g(h(p))=h(p).
b) d f(p) e d g(h(p)) têm os mesmos autovalores. (Lembre-se que lambda é um autovalor de A se, e somente se, det(lambda I-A)=0 ).

Passo 1

O enunciado diz que temos três funções diferenciáveis f,g,h:R^ntoR^n, sendo h um difeomorfismo (logo invertível e com derivada invertível em todo ponto). Definimos
f = h^-1circ gcirc h
e existe um ponto p tal que f(p)=p. Precisamos mostrar:
a) g(h(p))=h(p).
b) As matrizes d f(p) e d g(h(p)) têm os mesmos autovalores.

Passo 2

Para (a), basta aplicar h à igualdade f(p)=p. Como f(p)=h^-1(g(h(p))), temos
hl(f(p)r)=h(p) Longrightarrow gl(h(p)r)=h(p),
pois hcirc h^-1=id. Isso prova (a).

Passo 3

Para (b), usamos a Regra da Cadeia para a derivada de f=h^-1circ gcirc h em p. Em notação de aplicações lineares,
d f(p) = dl(h^-1r)l(g(h(p))r),circ,d gl(h(p)r),circ,d h(p)
Mas em (a) vimos que g(h(p))=h(p). Logo podemos avaliar d(h^-1) em h(p). Como h é difeomorfismo,
dl(h^-1r)l(h(p)r) =l[d h(p)r]^-1
Substituindo isso na expressão de d f(p), obtemos
d f(p) =l[d h(p)r]^-1,circ,d gl(h(p)r),circ,d h(p)

Passo 4

A fórmula
d f(p) =l[d h(p)r]^-1,d gl(h(p)r),d h(p)
mostra que d f(p) e d g(h(p)) são matrizes semelhantes. Matrizes semelhantes têm exatamente os mesmos autovalores, pois
detl(lambda I - P^-1BPr) =detl(P^-1r),detl(lambda I - Br),det(P) =detl(lambda I - Br)
Aqui P=d h(p) e B=d g(h(p)). Isso encerra a prova de (b).

Resposta

a) g(h(p))=h(p).
b) d f(p) e d g(h(p)) têm os mesmos autovalores.

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