Exercício 14. (ELJ 68) Sejam
funções diferenciáveis, em que
é um difeomorfismo. Suponha que
e
para um certo
. Mostre que:
a)
.
b)
e
têm os mesmos autovalores. (Lembre-se que
é um autovalor de
se, e somente se,
).
a)
b)
Passo 1
O enunciado diz que temos três funções diferenciáveis
, sendo
um difeomorfismo (logo invertível e com derivada invertível em todo ponto). Definimos
e existe um ponto
tal que
. Precisamos mostrar:
a) .
b) As matrizes e
têm os mesmos autovalores.
a)
b) As matrizes
Passo 2
Para (a), basta aplicar
à igualdade
. Como
, temos
pois
. Isso prova (a).
Passo 3
Para (b), usamos a Regra da Cadeia para a derivada de
em
. Em notação de aplicações lineares,
Mas em (a) vimos que
. Logo podemos avaliar
em
. Como
é difeomorfismo,
Substituindo isso na expressão de
, obtemos
Passo 4
A fórmula
mostra que
e
são matrizes semelhantes. Matrizes semelhantes têm exatamente os mesmos autovalores, pois
Aqui
e
. Isso encerra a prova de (b).
Resposta
a)
.
b) e
têm os mesmos autovalores.
b)