Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow(\pi / 2)^{+}} \frac{\cos x}{1-\operatorname{sen} x}

Passo 1

O que o problema pede: calcular o limite
\lim_{x \to (\pi/2)^{+}} \frac{\cos x}{1-\sin x}.
Informações dadas e observações imediatas: ao avaliar no ponto,
\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,\qquad \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.
Portanto a expressão direta no ponto tem a forma \frac{0}{0} (indeterminação), então precisamos manipular/estudar a vizinhança direita de x=\pi/2 para descobrir o comportamento da função.

Passo 2

Técnica elementar muito útil: multiplicar numerador e denominador pelo conjugado 1+\sin x. A ideia é usar a identidade trigonométrica
1-\sin^{2}x=\cos^{2}x,
para simplificar o denominador pequeno. Faço a multiplicação:
\frac{\cos x}{1-\sin x}\cdot\frac{1+\sin x}{1+\sin x} =\frac{\cos x(1+\sin x)}{1-\sin^{2}x} =\frac{\cos x(1+\sin x)}{\cos^{2}x}.
Cancelando uma \cos x (em pontos próximos a \pi/2 com x\neq\pi/2 isso é válido), obtemos:
\frac{\cos x}{1-\sin x}=\frac{1+\sin x}{\cos x}.

Passo 3

Agora analiso o limite da forma transformada. Quando x\to(\pi/2)^{+} temos \sin x\to1, então o numerador 1+\sin x\to2 (positivo próximo de 2). O denominador \cos x\to0, mas é importante avaliar o sinal: para x um pouco maior que \pi/2 (ou seja x=\pi/2+h com h>0 pequeno), sabe-se que
\cos\!\left(\frac{\pi}{2}+h\right)=-\sin h<0,
logo \cos x tende a 0 vindo do lado negativo. Assim o quociente
\frac{1+\sin x}{\cos x}
tem numerador que tende a 2>0 e denominador que tende a 0^{-}. Dividir um número positivo por um número que tende a 0 pela esquerda dá -\infty. Portanto, a partir desta simplificação elementar, concluo que
\lim_{x\to(\pi/2)^{+}}\frac{\cos x}{1-\sin x}=-\infty.

Passo 4

Para ganhar mais intuição, faço a substituição x=\frac{\pi}{2}+h com h\to0^{+}. Então
\sin x=\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+h\right)=\cos h\approx 1-\frac{h^{2}}{2}\quad(\text{para }h\text{ pequeno}),
\cos x=\cos\!\left(\frac{\pi}{2}+h\right)=-\sin h\approx -h.
Substituindo na expressão original (ou na forma simplificada),
\frac{\cos x}{1-\sin x}\approx\frac{-h}{1-(1-\frac{h^{2}}{2})}=\frac{-h}{\frac{h^{2}}{2}}=-\frac{2}{h}\xrightarrow[h\to0^{+}]-\infty,
o que confirma a conclusão do passo anterior.

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital (checando condições): temos forma indeterminada 0/0 quando x\to\pi/2^{+}. As funções são diferenciáveis à direita de \pi/2 e a derivada do denominador não é identicamente nula em uma vizinhança direita (exceto no próprio ponto), então podemos aplicar L’Hôpital no limite lateral. Derivando numerador e denominador:
\text{num}'(x)=-\sin x,\qquad \text{den}'(x)=-\cos x.
Pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to(\pi/2)^{+}}\frac{\cos x}{1-\sin x} =\lim_{x\to(\pi/2)^{+}}\frac{-\sin x}{-\cos x} =\lim_{x\to(\pi/2)^{+}}\tan x.
Sabemos que \tan x tem assíntota vertical em x=\pi/2; especificamente \tan x\to-\infty quando x\to(\pi/2)^{+}. Isso confirma a resposta obtida pelos métodos anteriores.

Resposta

-\infty

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