Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O numerador é
. - O denominador é
. - Queremos o comportamento da função quando
cresce sem limite (ou seja, ). - Note que
quando e quando . Portanto a expressão tem a forma indeterminada .
Passo 2
Vamos verificar se podemos usar a Regra de L’Hôpital. A Regra de L’Hôpital diz que se temos uma forma indeterminada
(ou
) e os numerador e denominador são diferenciáveis para
suficientemente grande, então
sempre que o limite à direita exista (ou seja
). Aqui
e
. Ambas são diferenciáveis para
(na verdade para todo
e
, respectivamente), então as hipóteses da regra são satisfeitas e podemos aplicá-la.
Passo 3
Calculemos as derivadas pedidas, explicando bem:
- A função
pode ser escrita como . Pela regra do poder, a derivada de é . Logo
- A derivada de
é simplesmente , pois a derivada de é e a derivada da constante é .
Passo 4
Aplicando a Regra de L’Hôpital substituindo por
e
, obtemos
Fiz apenas uma simplificação algébrica: dividir por
é o mesmo que multiplicar pelo seu recíproco.
Passo 5
Agora avaliamos o limite
Note que
para
grande e que esse produto tende a
quando
. Uma maneira prática e rigorosa de ver isso é tomar o logaritmo do denominador:
Quando
temos
e
mais lentamente, portanto a soma
. Assim
. Como o numerador da fração é a constante
, o quociente tende a
. Intuitivamente: a exponencial cresce muito mais rápido que qualquer raiz ou potência de
, então o denominador vence e a fração vai para zero.
Passo 6
Portanto o limite pedido existe e vale
. (Se você quiser, dá para justificar a mesma conclusão usando mais aplicações da Regra de L’Hôpital ou comparando
para qualquer
— todos tendem a zero — mas o argumento acima já é suficiente e simples.)