Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x}}{1+e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x}}{1+e^{x}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O numerador é \sqrt{x}.
  • O denominador é 1+e^{x}.
  • Queremos o comportamento da função quando x cresce sem limite (ou seja, x\to\infty).
  • Note que \sqrt{x}\to\infty quando x\to\infty e 1+e^{x}\to\infty quando x\to\infty. Portanto a expressão tem a forma indeterminada \infty/\infty.

Passo 2

Vamos verificar se podemos usar a Regra de L’Hôpital. A Regra de L’Hôpital diz que se temos uma forma indeterminada \infty/\infty (ou 0/0) e os numerador e denominador são diferenciáveis para x suficientemente grande, então
\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}
sempre que o limite à direita exista (ou seja \pm\infty). Aqui f(x)=\sqrt{x} e g(x)=1+e^{x}. Ambas são diferenciáveis para x>0 (na verdade para todo x>0 e x\in\mathbb{R}, respectivamente), então as hipóteses da regra são satisfeitas e podemos aplicá-la.

Passo 3

Calculemos as derivadas pedidas, explicando bem:
  • A função \sqrt{x} pode ser escrita como x^{1/2}. Pela regra do poder, a derivada de x^{a} é a x^{a-1}. Logo
\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{d}{dx}x^{1/2}=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
  • A derivada de 1+e^{x} é simplesmente e^{x}, pois a derivada de e^{x} é e^{x} e a derivada da constante 1 é 0.

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôpital substituindo por f'(x) e g'(x), obtemos
\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x}}{1+e^{x}} =\lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{e^{x}} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2\sqrt{x}\,e^{x}}.
Fiz apenas uma simplificação algébrica: dividir por e^{x} é o mesmo que multiplicar pelo seu recíproco.

Passo 5

Agora avaliamos o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2\sqrt{x}\,e^{x}}.
Note que 2\sqrt{x}\,e^{x}>0 para x grande e que esse produto tende a +\infty quando x\to\infty. Uma maneira prática e rigorosa de ver isso é tomar o logaritmo do denominador:
\ln\bigl(2\sqrt{x}\,e^{x}\bigr)=\ln 2+\tfrac{1}{2}\ln x + x.
Quando x\to\infty temos x\to\infty e \tfrac{1}{2}\ln x\to\infty mais lentamente, portanto a soma \ln 2+\tfrac{1}{2}\ln x + x\to\infty. Assim 2\sqrt{x}\,e^{x}\to\infty. Como o numerador da fração é a constante 1, o quociente tende a 0. Intuitivamente: a exponencial cresce muito mais rápido que qualquer raiz ou potência de x, então o denominador vence e a fração vai para zero.

Passo 6

Portanto o limite pedido existe e vale 0. (Se você quiser, dá para justificar a mesma conclusão usando mais aplicações da Regra de L’Hôpital ou comparando x^{a}e^{-x} para qualquer a — todos tendem a zero — mas o argumento acima já é suficiente e simples.)

Resposta

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