Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
tende a
:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
e o ponto onde a variável se aproxima é
. Não há outras hipóteses explícitas (como restrições sobre continuidade além do que as próprias funções exponenciais já garantem).
Passo 2
Vamos verificar se temos uma forma indeterminada ao substituir
. Isso é importante porque se for
ou
podemos usar a Regra de L’Hôspital; caso contrário, não podemos aplicá-la. Para verificar fazemos a substituição direta dentro da expressão (aqui apenas mostramos a ideia da verificação; o cálculo detalhado da substituição será feito usando derivadas na sequência).
Passo 3
Explicando a Regra de L’Hôspital (versão para
): se duas funções
e
são diferenciáveis num intervalo em torno de
(exceto possivelmente em
), e se
e se o limite
existe (ou é
), então
Aqui podemos aplicar porque numerador e denominador são somas de funções exponenciais e polinômios, que são diferenciáveis em todo lugar. Vou aplicar L’Hôspital diferenciando numerador e denominador uma vez.
Passo 4
Calcule as derivadas de primeiro ordem.
Para o numerador temos
Para o numerador
Para o denominador
temos
Pelo que vimos na verificação do Passo 2 (substituição direta),
e
, então a forma era
e a aplicação de L’Hôspital é válida. Agora consideramos o limite das derivadas:
Avaliar isso em
dá novamente
porque
e
. Portanto ainda temos uma indeterminação e devemos aplicar L’Hôspital novamente.
Passo 5
Aplicando L’Hôspital pela segunda vez (derivando de novo numerador e denominador):
Derivada segunda do numerador:
Derivada segunda do numerador:
Derivada segunda do denominador:
Agora consideramos o limite das segundas derivadas:
Esse limite já não é indeterminado: basta substituir
:
Pelo teorema de L’Hôspital (aplicado duas vezes), concluímos que o limite original é
.
Passo 6
Método alternativo (mais elementar) usando séries de Taylor — útil para entender por que deu esse resultado e prático em provas:
A série de Taylor de em torno de
é
A série de Taylor de
Daí
Substituindo nas expressões do numerador e denominador e mantendo termos até ordem
(porque termos de ordem superior vão desaparecer ao dividir por
) obtemos:
Numerador:
Numerador:
Denominador:
Portanto, para
pequeno,
confirmando o resultado obtido por L’Hôspital.
Passo 7
Resumo intuitivo e dica para prova: a indeterminação era de tipo
. Aplicando L’Hôspital duas vezes chegamos a um quociente de derivadas que ao avaliar em
dá
. Alternativamente, usar expansão em série de Taylor até a menor potência não nula (aqui
) é mais rápido e mostra claramente o porquê do fator
. Vai com calma na prova: se as séries são permitidas, geralmente são o caminho mais curtinho para exponenciais.