Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}+e^{-x}-2}{e^{x}-x-1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x tende a 0:
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}+e^{-x}-2}{e^{x}-x-1}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\text{numerador} = e^{x}+e^{-x}-2, \qquad \text{denominador} = e^{x}-x-1,
e o ponto onde a variável se aproxima é x=0. Não há outras hipóteses explícitas (como restrições sobre continuidade além do que as próprias funções exponenciais já garantem).

Passo 2

Vamos verificar se temos uma forma indeterminada ao substituir x=0. Isso é importante porque se for 0/0 ou \infty/\infty podemos usar a Regra de L’Hôspital; caso contrário, não podemos aplicá-la. Para verificar fazemos a substituição direta dentro da expressão (aqui apenas mostramos a ideia da verificação; o cálculo detalhado da substituição será feito usando derivadas na sequência).

Passo 3

Explicando a Regra de L’Hôspital (versão para 0/0): se duas funções f e g são diferenciáveis num intervalo em torno de a (exceto possivelmente em a), e se
\lim_{x\to a} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to a} g(x)=0,
e se o limite
\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui podemos aplicar porque numerador e denominador são somas de funções exponenciais e polinômios, que são diferenciáveis em todo lugar. Vou aplicar L’Hôspital diferenciando numerador e denominador uma vez.

Passo 4

Calcule as derivadas de primeiro ordem.
Para o numerador f(x)=e^{x}+e^{-x}-2 temos
f'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{x}\big)+\frac{d}{dx}\big(e^{-x}\big)-\frac{d}{dx}(2)=e^{x}-e^{-x}.
Para o denominador g(x)=e^{x}-x-1 temos
g'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{x}\big)-\frac{d}{dx}(x)-\frac{d}{dx}(1)=e^{x}-1.
Pelo que vimos na verificação do Passo 2 (substituição direta), f(0)=0 e g(0)=0, então a forma era 0/0 e a aplicação de L’Hôspital é válida. Agora consideramos o limite das derivadas:
\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}-1}.
Avaliar isso em x=0 dá novamente 0/0 porque e^{0}-e^{0}=0 e e^{0}-1=0. Portanto ainda temos uma indeterminação e devemos aplicar L’Hôspital novamente.

Passo 5

Aplicando L’Hôspital pela segunda vez (derivando de novo numerador e denominador):
Derivada segunda do numerador:
f''(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{x}-e^{-x}\big)=e^{x}+e^{-x}.
Derivada segunda do denominador:
g''(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{x}-1\big)=e^{x}.
Agora consideramos o limite das segundas derivadas:
\lim_{x\to 0}\frac{f''(x)}{g''(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}}.
Esse limite já não é indeterminado: basta substituir x=0:
\frac{e^{0}+e^{0}}{e^{0}}=\frac{1+1}{1}=2.
Pelo teorema de L’Hôspital (aplicado duas vezes), concluímos que o limite original é 2.

Passo 6

Método alternativo (mais elementar) usando séries de Taylor — útil para entender por que deu esse resultado e prático em provas:
A série de Taylor de e^{x} em torno de 0 é
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\cdots.
Daí
e^{-x}=1-x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{6}+\cdots.
Substituindo nas expressões do numerador e denominador e mantendo termos até ordem x^{2} (porque termos de ordem superior vão desaparecer ao dividir por x^{2}) obtemos:
Numerador:
e^{x}+e^{-x}-2 = \big(1+x+\tfrac{x^{2}}{2}+\cdots\big)+\big(1-x+\tfrac{x^{2}}{2}+\cdots\big)-2 = x^{2}+\text{termos de ordem superior}.
Denominador:
e^{x}-x-1 = \big(1+x+\tfrac{x^{2}}{2}+\cdots\big)-x-1 = \tfrac{x^{2}}{2}+\text{termos de ordem superior}.
Portanto, para x pequeno,
\frac{e^{x}+e^{-x}-2}{e^{x}-x-1}\approx\frac{x^{2}}{\tfrac{x^{2}}{2}}=2,
confirmando o resultado obtido por L’Hôspital.

Passo 7

Resumo intuitivo e dica para prova: a indeterminação era de tipo 0/0. Aplicando L’Hôspital duas vezes chegamos a um quociente de derivadas que ao avaliar em 0 2. Alternativamente, usar expansão em série de Taylor até a menor potência não nula (aqui x^{2}) é mais rápido e mostra claramente o porquê do fator 2. Vai com calma na prova: se as séries são permitidas, geralmente são o caminho mais curtinho para exponenciais.

Resposta

2

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