Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sin (x-1)}{x^{3}+x-2}

Passo 1

O problema pede calcular o limite
\lim_{x\to 1}\frac{\sin(x-1)}{x^{3}+x-2}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O numerador é \sin(x-1).
  • O denominador é x^{3}+x-2.
  • Ao observar x=1 temos \sin(1-1)=\sin 0=0 e 1^{3}+1-2=0. Portanto, ao substituir x=1 obtemos a forma 0/0, que é uma indeterminação e exige um método para resolvê-la.

Passo 2

Interpretação da indeterminação e estratégia: como temos a forma 0/0, existem duas abordagens naturais que são simples e didáticas aqui:
  1. Um método elementar: fatorar o polinômio do denominador e usar o limite clássico \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1.
  2. Aplicar a Regra de L’Hôpital: derivar numerador e denominador e avaliar o limite do quociente das derivadas. Vou fazer primeiro o método elementar (mais direto) e depois mostrar L’Hôpital para confirmar.

Passo 3

Fatoração do denominador. Vamos dividir x^{3}+x-2 por (x-1) porque sabemos que x=1 é raiz (substituição deu zero). Fazendo a divisão sintética ou polinomial obtemos o quociente x^{2}+x+2. Logo,
x^{3}+x-2=(x-1)\,(x^{2}+x+2).

Passo 4

Reescrever o limite usando a fatoração encontrada:
\frac{\sin(x-1)}{x^{3}+x-2}=\frac{\sin(x-1)}{(x-1)\,(x^{2}+x+2)}=\left(\frac{\sin(x-1)}{x-1}\right)\cdot\frac{1}{x^{2}+x+2}.
Agora faça a mudança t=x-1. Quando x\to 1 temos t\to 0. Então o limite fica
\lim_{x\to 1}\frac{\sin(x-1)}{x^{3}+x-2} =\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}\cdot\frac{1}{(t+1)^{2}+(t+1)+2}.

Passo 5

Avaliação dos dois fatores no limite:
  • O fator \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1. (Este é um limite padrão. Uma justificativa breve: para t próximo de 0 temos a desigualdade \cos t\le \dfrac{\sin t}{t}\le 1 e como \lim_{t\to 0}\cos t=1 pela regra do sanduíche obtemos \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1.)
  • O fator racional no denominador tende para (1)^{2}+1+2=4. Mais diretamente, sem a mudança: x^{2}+x+2 quando x\to 1 vale 1+1+2=4.
Multiplicando os limites (produto de limites, pois cada fator tem limite finito), obtemos
1\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{4}.

Passo 6

Verificação usando a Regra de L’Hôpital (conforme o enunciado pediu quando apropriado). Condições: temos forma indeterminada 0/0 e as funções são diferenciáveis num intervalo contendo 1 (exceto possivelmente em 1 no caso do quociente original), então L’Hôpital se aplica. Derivando numerador e denominador:
  • Derivada do numerador: \dfrac{d}{dx}\sin(x-1)=\cos(x-1).
  • Derivada do denominador: \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{3}+x-2\bigr)=3x^{2}+1.
Aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\to 1}\frac{\sin(x-1)}{x^{3}+x-2} =\lim_{x\to 1}\frac{\cos(x-1)}{3x^{2}+1}.
Agora avaliar em x=1:
\frac{\cos(0)}{3\cdot 1^{2}+1}=\frac{1}{3+1}=\frac{1}{4}.
Resultado coincidente com o método elementar, como esperado.

Passo 7

Conclusão e dica rápida para a prova: aqui o método mais econômico é notar a fatoração do denominador e usar \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1. Se você lembrar dessa fatoração e do limite trigonométrico, resolve-se quase na hora. L’Hôpital dá uma verificação curta e segura caso você não lembre a fatoração imediatamente.

Resposta

\dfrac{1}{4}

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