Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O problema pede calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O numerador é
. - O denominador é
. - Ao observar
temos e . Portanto, ao substituir obtemos a forma , que é uma indeterminação e exige um método para resolvê-la.
Passo 2
Interpretação da indeterminação e estratégia: como temos a forma
, existem duas abordagens naturais que são simples e didáticas aqui:
- Um método elementar: fatorar o polinômio do denominador e usar o limite clássico
. - Aplicar a Regra de L’Hôpital: derivar numerador e denominador e avaliar o limite do quociente das derivadas. Vou fazer primeiro o método elementar (mais direto) e depois mostrar L’Hôpital para confirmar.
Passo 3
Fatoração do denominador. Vamos dividir
por
porque sabemos que
é raiz (substituição deu zero). Fazendo a divisão sintética ou polinomial obtemos o quociente
. Logo,
Passo 4
Reescrever o limite usando a fatoração encontrada:
Agora faça a mudança
. Quando
temos
. Então o limite fica
Passo 5
Avaliação dos dois fatores no limite:
- O fator
. (Este é um limite padrão. Uma justificativa breve: para próximo de temos a desigualdade e como pela regra do sanduíche obtemos .) - O fator racional no denominador tende para
. Mais diretamente, sem a mudança: quando vale .
Multiplicando os limites (produto de limites, pois cada fator tem limite finito), obtemos
Passo 6
Verificação usando a Regra de L’Hôpital (conforme o enunciado pediu quando apropriado). Condições: temos forma indeterminada
e as funções são diferenciáveis num intervalo contendo
(exceto possivelmente em
no caso do quociente original), então L’Hôpital se aplica. Derivando numerador e denominador:
- Derivada do numerador:
. - Derivada do denominador:
.
Aplicando L’Hôpital:
Agora avaliar em
:
Resultado coincidente com o método elementar, como esperado.
Passo 7
Conclusão e dica rápida para a prova: aqui o método mais econômico é notar a fatoração do denominador e usar
. Se você lembrar dessa fatoração e do limite trigonométrico, resolve-se quase na hora. L’Hôpital dá uma verificação curta e segura caso você não lembre a fatoração imediatamente.