Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas (úteis para resolver):
- O numerador é
. - O denominador é
. - O ponto onde se toma o limite é
.
A próxima etapa é verificar o que acontece ao substituire decidir o método (Regra de L’Hôspital ou método elementar).
Passo 2
Testando substituição direta: calculemos numerador e denominador em
.
logo o numerador é
O denominador é
Portanto a forma é
, que é uma indeterminação onde a Regra de L’Hôspital pode ser aplicada se as condições (diferenciabilidade) forem satisfeitas. Também existe um método elementar possível — vamos apresentar os dois, mostrando que o método elementar é mais simples aqui.
Passo 3
Breve aula sobre a Regra de L’Hôspital (didática e direta):
- A Regra de L’Hôspital diz que, se
e (ou ambos ), e são diferenciáveis numa vizinhança de (exceto possivelmente em ), e próximo de , então
se o limite à direita existir.
- Aqui temos
e . Ambos são diferenciáveis em torno de (a função é diferenciável onde ; em tudo bem). Logo as condições são satisfeitas e podemos usar L’Hôspital.
Passo 4
Aplicando a Regra de L’Hôspital — calculemos as derivadas:
-
. (Derivada de é ; derivada de é .) -
. (Derivada de é ; derivada de é .)
Pela regra:
Agora avaliamos no ponto
:
e
Portanto o limite é
Passo 5
Método elementar (mais simples e recomendado na prova): manipulação algébrica para cancelar a indeterminação sem derivar.
Note que
Note que
Isso eu obtive transformando
em
e colocando sobre um denominador comum. Substituindo no quociente original:
para
tal que
. Cancelando o fator comum
(válido para
próximo de
, exceto no próprio ponto onde ambos são zero), ficamos com
Assim o limite é simplesmente
Comentário: essa manipulação é perfeitamente legítima para limites — podemos simplificar uma expressão em uma vizinhança do ponto de interesse, desde que não façamos a operação exatamente no ponto onde haveria divisão por zero. O valor do limite é determinado pelo comportamento próximo ao ponto, então a simplificação é válida.
Passo 6
Resumo e motivação: vimos duas maneiras.
- Pela Regra de L’Hôspital: derivamos numerador e denominador e obtivemos
. - Por método elementar: reescrevemos
como e cancelamos , obtendo e avaliando em , também dando .
O método elementar é mais curto e evita cálculos de derivadas — bom lembrar dessa identidade simples em provas para economizar tempo.