Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow \pi / 4} \frac{\sin x-\cos x}{\tan x-1}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to \pi/4}\frac{\sin x-\cos x}{\tan x-1}.
Informações dadas (úteis para resolver):
  • O numerador é \sin x-\cos x.
  • O denominador é \tan x-1.
  • O ponto onde se toma o limite é x=\pi/4.
    A próxima etapa é verificar o que acontece ao substituir x=\pi/4 e decidir o método (Regra de L’Hôspital ou método elementar).

Passo 2

Testando substituição direta: calculemos numerador e denominador em x=\pi/4.
\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},
logo o numerador é
\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)-\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}=0.
O denominador é
\tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right)-1=1-1=0.
Portanto a forma é 0/0, que é uma indeterminação onde a Regra de L’Hôspital pode ser aplicada se as condições (diferenciabilidade) forem satisfeitas. Também existe um método elementar possível — vamos apresentar os dois, mostrando que o método elementar é mais simples aqui.

Passo 3

Breve aula sobre a Regra de L’Hôspital (didática e direta):
  • A Regra de L’Hôspital diz que, se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambos \pm\infty), e f,g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), e g'(x)\neq 0 próximo de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
se o limite à direita existir.
  • Aqui temos f(x)=\sin x-\cos x e g(x)=\tan x-1. Ambos são diferenciáveis em torno de x=\pi/4 (a função \tan x é diferenciável onde \cos x\neq 0; em x=\pi/4 tudo bem). Logo as condições são satisfeitas e podemos usar L’Hôspital.

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôspital — calculemos as derivadas:
  • f'(x)=\dfrac{d}{dx}(\sin x-\cos x)=\cos x+\sin x. (Derivada de \sin x é \cos x; derivada de -\cos x é +\sin x.)
  • g'(x)=\dfrac{d}{dx}(\tan x-1)=\operatorname{sec}^2 x. (Derivada de \tan x é \operatorname{sec}^2 x; derivada de -1 é 0.)
    Pela regra:
\lim_{x\to \pi/4}\frac{\sin x-\cos x}{\tan x-1} = \lim_{x\to \pi/4}\frac{\cos x+\sin x}{\operatorname{sec}^2 x}.
Agora avaliamos no ponto x=\pi/4:
\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)+\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2},
e
\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\cos^2(\pi/4)}=\frac{1}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\frac{1}{1/2}=2.
Portanto o limite é
\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 5

Método elementar (mais simples e recomendado na prova): manipulação algébrica para cancelar a indeterminação sem derivar.
Note que
\tan x-1=\frac{\sin x}{\cos x}-1=\frac{\sin x-\cos x}{\cos x}.
Isso eu obtive transformando \tan x em \sin x/\cos x e colocando sobre um denominador comum. Substituindo no quociente original:
\frac{\sin x-\cos x}{\tan x-1} = \frac{\sin x-\cos x}{\frac{\sin x-\cos x}{\cos x}}
para x tal que \sin x-\cos x\neq 0. Cancelando o fator comum \sin x-\cos x (válido para x próximo de \pi/4, exceto no próprio ponto onde ambos são zero), ficamos com
\frac{\sin x-\cos x}{\tan x-1}=\cos x\quad(\text{para }x\neq \pi/4\text{, perto de }\pi/4).
Assim o limite é simplesmente
\lim_{x\to\pi/4}\cos x=\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Comentário: essa manipulação é perfeitamente legítima para limites — podemos simplificar uma expressão em uma vizinhança do ponto de interesse, desde que não façamos a operação exatamente no ponto onde haveria divisão por zero. O valor do limite é determinado pelo comportamento próximo ao ponto, então a simplificação é válida.

Passo 6

Resumo e motivação: vimos duas maneiras.
  • Pela Regra de L’Hôspital: derivamos numerador e denominador e obtivemos \dfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • Por método elementar: reescrevemos \tan x-1 como (\sin x-\cos x)/\cos x e cancelamos \sin x-\cos x, obtendo \cos x e avaliando em \pi/4, também dando \dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    O método elementar é mais curto e evita cálculos de derivadas — bom lembrar dessa identidade simples em provas para economizar tempo.

Resposta

\dfrac{\sqrt{2}}{2}

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