Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}\right).
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão é uma diferença entre \dfrac{1}{x} e \dfrac{1}{e^{x}-1}.
  • Quando x\to 0^{+} temos x\to 0 e e^{x}-1\to 0, então cada parcela tende para +\infty. A diferença pode, contudo, tender a um número finito — por isso é um caso que exige atenção.
  • Não há outras hipóteses adicionais no enunciado.

Passo 2

Primeiro vamos colocar a expressão em uma única fração para ver o tipo de indeterminação. Usando o denominador comum x(e^{x}-1),
\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1} =\frac{e^{x}-1}{x(e^{x}-1)}-\frac{x}{x(e^{x}-1)} =\frac{e^{x}-1-x}{x(e^{x}-1)}.
Portanto o limite é
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{e^{x}-1-x}{x(e^{x}-1)}.
Note que ao substituir x=0 tanto o numerador e^{x}-1-x quanto o denominador x(e^{x}-1) vão para 0. Então estamos diante de uma indeterminação do tipo \dfrac{0}{0}.

Passo 3

Vou explicar um método elementar e intuitivo que costuma ser o mais rápido na prova: usar a expansão de e^{x} em torno de 0. A expansão (série de Taylor) de e^{x} é
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+\cdots.
Isto significa que, para x pequeno,
e^{x}-1 = x+\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2}),
onde o(x^{2}) representa termos que são muito menores que x^{2} quando x\to 0 (por exemplo x^{3}, x^{4}, …). Eu explico isso só para justificar por que podemos truncar a série mantendo os termos até ordem x^{2}: aqui o termo linear em x aparece e pode se cancelar, então precisamos do termo em x^{2}.

Passo 4

Substituímos as expansões na fração:
  • Numerador:
e^{x}-1-x = \left(x+\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})\right)-x=\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2}).
  • Denominador:
x(e^{x}-1)=x\left(x+\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})\right)=x^{2}+\frac{x^{3}}{2}+o(x^{3})=x^{2}\left(1+\frac{x}{2}+o(x)\right).
Agora faça a divisão termo a termo:
\frac{e^{x}-1-x}{x(e^{x}-1)} =\frac{\frac{x^{2}}{2}+o(x^{2})}{x^{2}\left(1+\frac{x}{2}+o(x)\right)} =\frac{1}{2}\cdot\frac{1+o(1)}{1+\frac{x}{2}+o(x)}.
Quando x\to 0 o termo \frac{x}{2}+o(x)\to 0 e o(1)\to 0, portanto a razão tende para \dfrac{1}{2}. Logo
\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{e^{x}-1}\right)=\frac{1}{2}.

Passo 5

Para quem prefere a Regra de L’Hôspital (já que tínhamos indeterminação 0/0), mostro uma alternativa usando-a — é bom saber os dois jeitos.
Começamos com a mesma fração
\frac{e^{x}-1-x}{x(e^{x}-1)}.
Aplicando a Regra de L’Hôspital (derivando numerador e denominador) — válida porque temos \dfrac{0}{0} e as funções são diferenciáveis — obtemos:
  • derivada do numerador: \dfrac{d}{dx}(e^{x}-1-x)=e^{x}-1,
  • derivada do denominador: \dfrac{d}{dx}\big(x(e^{x}-1)\big)=(e^{x}-1)+x e^{x} (produto e cadeia).
    Assim o limite passa a ser
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{(e^{x}-1)+x e^{x}}.
Ao substituir x=0 ainda fica 0/0, então aplicamos L’Hôspital mais uma vez:
  • derivada do numerador agora: \dfrac{d}{dx}(e^{x}-1)=e^{x},
  • derivada do denominador agora: \dfrac{d}{dx}\big((e^{x}-1)+x e^{x}\big)=e^{x}+e^{x}+x e^{x}=2e^{x}+x e^{x}.
    Portanto o limite é
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}}{2e^{x}+x e^{x}}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{2+x}=\frac{1}{2}.
Mesma resposta — a aplicação de L’Hôspital exigiu duas derivações, enquanto a expansão revelou a resposta diretamente.

Passo 6

Resumo didático para a prova (dica prática): se você vê \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{e^{x}-1} perto de x=0, combine em uma fração e procure cancelamentos no numerador; geralmente a expansão de e^{x} até a ordem x^{2} resolve rapidamente. Se preferir L’Hôspital, verifique o tipo 0/0 e aplique quantas vezes for necessário até obter uma expressão evaluável.

Resposta

\dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados