Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão é uma diferença entre
e . - Quando
temos e , então cada parcela tende para . A diferença pode, contudo, tender a um número finito — por isso é um caso que exige atenção. - Não há outras hipóteses adicionais no enunciado.
Passo 2
Primeiro vamos colocar a expressão em uma única fração para ver o tipo de indeterminação. Usando o denominador comum
,
Portanto o limite é
Note que ao substituir
tanto o numerador
quanto o denominador
vão para
. Então estamos diante de uma indeterminação do tipo
.
Passo 3
Vou explicar um método elementar e intuitivo que costuma ser o mais rápido na prova: usar a expansão de
em torno de
. A expansão (série de Taylor) de
é
Isto significa que, para
pequeno,
onde
representa termos que são muito menores que
quando
(por exemplo
,
, …). Eu explico isso só para justificar por que podemos truncar a série mantendo os termos até ordem
: aqui o termo linear em
aparece e pode se cancelar, então precisamos do termo em
.
Passo 4
Substituímos as expansões na fração:
- Numerador:
- Denominador:
Agora faça a divisão termo a termo:
Quando
o termo
e
, portanto a razão tende para
. Logo
Passo 5
Para quem prefere a Regra de L’Hôspital (já que tínhamos indeterminação
), mostro uma alternativa usando-a — é bom saber os dois jeitos.
Começamos com a mesma fração
Aplicando a Regra de L’Hôspital (derivando numerador e denominador) — válida porque temos
e as funções são diferenciáveis — obtemos:
- derivada do numerador:
, - derivada do denominador:
(produto e cadeia).
Assim o limite passa a ser
Ao substituir
ainda fica
, então aplicamos L’Hôspital mais uma vez:
- derivada do numerador agora:
, - derivada do denominador agora:
.
Portanto o limite é
Mesma resposta — a aplicação de L’Hôspital exigiu duas derivações, enquanto a expansão revelou a resposta diretamente.
Passo 6
Resumo didático para a prova (dica prática): se você vê
perto de
, combine em uma fração e procure cancelamentos no numerador; geralmente a expansão de
até a ordem
resolve rapidamente. Se preferir L’Hôspital, verifique o tipo
e aplique quantas vezes for necessário até obter uma expressão evaluável.