Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão tem numerador
e denominador . - Quando
temos , logo . - Quando
o denominador . - Portanto o limite é uma forma indeterminada do tipo
.
O que se pede é o valor numérico desse limite.
Passo 2
Explicação da ferramenta que vamos usar: a Regra de l’Hôpital.
- A Regra de l’Hôpital diz: se duas funções
e são diferenciáveis numa vizinhança de um ponto (exceto possivelmente no próprio ponto) e ao aproximarmos ao ponto obtemos a forma indeterminada (ou ), então, se existir o limite dos quocientes das derivadas, vale
- Aqui temos a forma
, e tanto o numerador quanto o denominador são diferenciáveis para próximo de (exceto que o valor no próprio não importa para aplicar a regra). Logo podemos aplicar a regra, desde que calculemos as derivadas e o novo limite exista.
Passo 3
Calcular as derivadas (explicando passo a passo).
- Para derivar
podemos usar duas maneiras equivalentes; uso a mais direta: Como é constante, a derivada é (Alternativamente, pela regra da cadeia: se , então .) - Para o denominador
a derivada é
Passo 4
Aplicar a Regra de l’Hôpital com as derivadas encontradas.
- Segundo a regra,
- Simplificando o quociente:
- Portanto o limite reduz-se a
Passo 5
Uma via alternativa (mais elementar por substituição) que frequentemente aparece em provas:
- Faça a substituição
. Quando então . Note que e . - A expressão fica
- Observe que
porque isso é exatamente a definição da derivada de em : . Logo - Assim
coincidindo com o resultado anterior.