Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{\ln (x / 3)}{3-x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 3}\frac{\ln(x/3)}{3-x}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão tem numerador \ln(x/3) e denominador 3-x.
  • Quando x\to 3 temos x/3\to 1, logo \ln(x/3)\to \ln 1 = 0.
  • Quando x\to 3 o denominador 3-x\to 0.
  • Portanto o limite é uma forma indeterminada do tipo 0/0.
    O que se pede é o valor numérico desse limite.

Passo 2

Explicação da ferramenta que vamos usar: a Regra de l’Hôpital.
  • A Regra de l’Hôpital diz: se duas funções f e g são diferenciáveis numa vizinhança de um ponto (exceto possivelmente no próprio ponto) e ao aproximarmos ao ponto obtemos a forma indeterminada 0/0 (ou \infty/\infty), então, se existir o limite dos quocientes das derivadas, vale
\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}.
  • Aqui temos a forma 0/0, e tanto o numerador quanto o denominador são diferenciáveis para x próximo de 3 (exceto que o valor no próprio x=3 não importa para aplicar a regra). Logo podemos aplicar a regra, desde que calculemos as derivadas e o novo limite exista.

Passo 3

Calcular as derivadas (explicando passo a passo).
  • Para derivar h(x)=\ln(x/3) podemos usar duas maneiras equivalentes; uso a mais direta: \ln\!\left(\frac{x}{3}\right)=\ln x - \ln 3.Como \ln 3 é constante, a derivada é \frac{d}{dx}\ln\!\left(\frac{x}{3}\right)=\frac{d}{dx}\ln x - 0 = \frac{1}{x}.(Alternativamente, pela regra da cadeia: se u(x)=x/3, então \frac{d}{dx}\ln u = \frac{u'}{u} = \frac{1/3}{x/3}=\frac{1}{x}.)
  • Para o denominador g(x)=3-x a derivada é g'(x)=\frac{d}{dx}(3-x)=-1.

Passo 4

Aplicar a Regra de l’Hôpital com as derivadas encontradas.
  • Segundo a regra, \lim_{x\to 3}\frac{\ln(x/3)}{3-x} =\lim_{x\to 3}\frac{\frac{d}{dx}\ln(x/3)}{\frac{d}{dx}(3-x)} =\lim_{x\to 3}\frac{1/x}{-1}.
  • Simplificando o quociente: \frac{1/x}{-1}=-\frac{1}{x}.
  • Portanto o limite reduz-se a \lim_{x\to 3}\left(-\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{3}.

Passo 5

Uma via alternativa (mais elementar por substituição) que frequentemente aparece em provas:
  • Faça a substituição t=\dfrac{x}{3}. Quando x\to 3 então t\to 1. Note que x=3t e 3-x=3-3t=3(1-t).
  • A expressão fica \frac{\ln(x/3)}{3-x}=\frac{\ln t}{3(1-t)}=\frac{1}{3}\cdot\frac{\ln t}{1-t}.
  • Observe que \lim_{t\to 1}\frac{\ln t}{t-1}=1,porque isso é exatamente a definição da derivada de \ln t em t=1: (\ln t)'|_{t=1}=1. Logo \lim_{t\to 1}\frac{\ln t}{1-t}=\lim_{t\to 1}\left(-\frac{\ln t}{t-1}\right)=-1.
  • Assim \lim_{x\to 3}\frac{\ln(x/3)}{3-x}=\frac{1}{3}\cdot(-1)=-\frac{1}{3},coincidindo com o resultado anterior.

Resposta

-\tfrac{1}{3}

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