Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\ln x}{x}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{\ln x}{x}.
Informações dadas (explícitas no enunciado):
  • A variável x tende para 0 pela direita, isto é x\to0^{+}.
  • A expressão a avaliar é \dfrac{\ln x}{x}.

Passo 2

Vamos entender o comportamento das duas partes quando x\to0^{+}.
  • Para x\to0^{+} vale \ln x \to -\infty. Isso porque o logaritmo natural fica arbitrariamente negativo quando seu argumento se aproxima de 0 pela direita.
  • Para x\to0^{+} vale x\to0^{+} (ou seja, tende a zero por valores positivos).
    Portanto o numerador tende a -\infty e o denominador tende a 0^{+}.

Passo 3

Verificação de aplicabilidade da Regra de l’Hôpital:
  • A Regra de l’Hôpital é aplicável somente quando a forma é 0/0 ou \infty/\infty (mais precisamente \pm 0/\pm 0 ou \pm\infty/\pm\infty).
  • Aqui temos a forma -\infty/0^{+}, que não é uma das formas indeterminadas cobertas por l’Hôpital. Logo, a Regra de l’Hôpital NÃO é aplicável diretamente.
    Explicação intuitiva: como o denominador tende a 0^{+} e o numerador tende a -\infty, espera-se que o quociente tenda a -\infty (diverge para menos infinito), mas vamos demonstrar isso de forma elementar e rigorosa.

Passo 4

Fazer a substituição elementar x=\dfrac{1}{t}. Quando x\to0^{+} temos t\to+\infty. Reescrevendo a expressão:
\frac{\ln x}{x} = \frac{\ln\!\left(\dfrac{1}{t}\right)}{1/t}.
Agora use \ln\!\left(\dfrac{1}{t}\right) = -\ln t. Assim
\frac{\ln x}{x} = \frac{-\ln t}{1/t} = -\,t\ln t.
Portanto o limite original equivale a
\lim_{x\to0^{+}} \frac{\ln x}{x} = \lim_{t\to+\infty} \bigl(-\,t\ln t\bigr).

Passo 5

Analisar \lim_{t\to+\infty} t\ln t. Para ver que isso tende a +\infty basta usar uma desigualdade simples: para t>e temos \ln t>1, então
t\ln t > t\quad\text{para }t>e.
Como \lim_{t\to+\infty} t = +\infty, segue que \lim_{t\to+\infty} t\ln t = +\infty. Consequentemente
\lim_{t\to+\infty} \bigl(-\,t\ln t\bigr) = -\infty.

Passo 6

Conclusão: pelo passo anterior, a expressão \dfrac{\ln x}{x} diverge para -\infty quando x\to0^{+}. Relembrando: a Regra de l’Hôpital não foi necessária nem aplicável (forma -\infty/0^{+}), e a substituição x=1/t fornece um argumento elementar e claro.

Resposta

-\infty

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