Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas (explícitas no enunciado):
- A variável
tende para pela direita, isto é . - A expressão a avaliar é
.
Passo 2
Vamos entender o comportamento das duas partes quando
.
- Para
vale . Isso porque o logaritmo natural fica arbitrariamente negativo quando seu argumento se aproxima de pela direita. - Para
vale (ou seja, tende a zero por valores positivos).
Portanto o numerador tende ae o denominador tende a .
Passo 3
Verificação de aplicabilidade da Regra de l’Hôpital:
- A Regra de l’Hôpital é aplicável somente quando a forma é
ou (mais precisamente ou ). - Aqui temos a forma
, que não é uma das formas indeterminadas cobertas por l’Hôpital. Logo, a Regra de l’Hôpital NÃO é aplicável diretamente.
Explicação intuitiva: como o denominador tende ae o numerador tende a , espera-se que o quociente tenda a (diverge para menos infinito), mas vamos demonstrar isso de forma elementar e rigorosa.
Passo 4
Fazer a substituição elementar
. Quando
temos
. Reescrevendo a expressão:
Agora use
. Assim
Portanto o limite original equivale a
Passo 5
Analisar
. Para ver que isso tende a
basta usar uma desigualdade simples: para
temos
, então
Como
, segue que
. Consequentemente
Passo 6
Conclusão: pelo passo anterior, a expressão
diverge para
quando
. Relembrando: a Regra de l’Hôpital não foi necessária nem aplicável (forma
), e a substituição
fornece um argumento elementar e claro.