Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão é uma fração com numerador
e denominador . - Estamos tomando
. - Note que
e , ou seja a forma é , uma indeterminação clássica onde métodos como desenvolvimento em série (expansão em série de Taylor) ou a Regra de L’Hôspital podem ser aplicados, desde que justificados.
Passo 2
Vamos usar primeiro a expansão em série (Taylor) de
em torno de
, porque é o caminho mais direto aqui. Vou explicar o que é essa expansão e por que podemos usá-la.
A série de Taylor (expansão em série de potências) de
em torno de
é
Explicando devagar: essa fórmula diz que, para
pequeno,
pode ser aproximada por um polinômio cujos coeficientes vêm das derivadas de
em
. O termo genérico é
. Podemos truncar a série e controlar o erro: os termos omitidos são de ordem superior em
(por exemplo,
se truncarmos após
).
Passo 3
Substituindo a expansão de
até o termo em
no numerador temos:
Agora simplifico termo a termo:
- O
e cancelam; - O
e também se cancelam.
Fica então
Isso significa que, quando
, o numerador se comporta como
mais termos de ordem superior.
Passo 4
Dividindo pelo denominador
obtemos a expressão equivalente para o limite:
Tomando
, o termo
vai a zero, logo o limite é
Passo 5
Como alternativa (para treinar a Regra de L’Hôspital), posso mostrar a via por diferenciação sucessiva: seja
Ambos vão a
quando
, então a forma é
. Aplicando a Regra de L’Hôspital repetidamente (as derivadas existem e são contínuas em torno de
), calculamos:
1ª diferenciação:
Avaliação em
:
,
→ ainda
.
2ª diferenciação:
Avaliação em
:
,
→ ainda
.
3ª diferenciação:
Avaliação em
:
,
→ ainda
.
4ª diferenciação:
Agora
e
. Pela aplicação repetida da Regra de L’Hôspital (4 vezes), o limite vale
Isso confirma o resultado obtido pela expansão em série.