Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-1+\frac{1}{2} x^{2}}{x^{4}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1+\tfrac{1}{2}x^{2}}{x^{4}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão é uma fração com numerador \cos x-1+\tfrac{1}{2}x^{2} e denominador x^{4}.
  • Estamos tomando x\to 0.
  • Note que \cos 0-1+\tfrac{1}{2}\cdot 0^{2}=0 e 0^{4}=0, ou seja a forma é 0/0, uma indeterminação clássica onde métodos como desenvolvimento em série (expansão em série de Taylor) ou a Regra de L’Hôspital podem ser aplicados, desde que justificados.

Passo 2

Vamos usar primeiro a expansão em série (Taylor) de \cos x em torno de 0, porque é o caminho mais direto aqui. Vou explicar o que é essa expansão e por que podemos usá-la.
A série de Taylor (expansão em série de potências) de \cos x em torno de 0 é
\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + \cdots.
Explicando devagar: essa fórmula diz que, para x pequeno, \cos x pode ser aproximada por um polinômio cujos coeficientes vêm das derivadas de \cos em 0. O termo genérico é (-1)^{n}\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}. Podemos truncar a série e controlar o erro: os termos omitidos são de ordem superior em x (por exemplo, O(x^{6}) se truncarmos após x^{4}).

Passo 3

Substituindo a expansão de \cos x até o termo em x^{4} no numerador temos:
\cos x - 1 + \frac{1}{2}x^{2} = \left(1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + O(x^{6})\right) - 1 + \frac{1}{2}x^{2}.
Agora simplifico termo a termo:
  • O 1 e -1 cancelam;
  • O -\dfrac{x^{2}}{2} e +\dfrac{1}{2}x^{2} também se cancelam.
    Fica então
\cos x - 1 + \frac{1}{2}x^{2} = \frac{x^{4}}{24} + O(x^{6}).
Isso significa que, quando x\to 0, o numerador se comporta como \dfrac{x^{4}}{24} mais termos de ordem superior.

Passo 4

Dividindo pelo denominador x^{4} obtemos a expressão equivalente para o limite:
\frac{\cos x - 1 + \tfrac{1}{2}x^{2}}{x^{4}} = \frac{\dfrac{x^{4}}{24} + O(x^{6})}{x^{4}} = \frac{1}{24} + O(x^{2}).
Tomando x\to 0, o termo O(x^{2}) vai a zero, logo o limite é
\lim_{x\to 0}\frac{\cos x - 1 + \tfrac{1}{2}x^{2}}{x^{4}} = \frac{1}{24}.

Passo 5

Como alternativa (para treinar a Regra de L’Hôspital), posso mostrar a via por diferenciação sucessiva: seja
f(x)=\cos x-1+\tfrac{1}{2}x^{2},\qquad g(x)=x^{4}.
Ambos vão a 0 quando x\to 0, então a forma é 0/0. Aplicando a Regra de L’Hôspital repetidamente (as derivadas existem e são contínuas em torno de 0), calculamos:
1ª diferenciação:
f'(x)=-\sin x + x,\qquad g'(x)=4x^{3}.
Avaliação em 0: f'(0)=0, g'(0)=0 → ainda 0/0.
2ª diferenciação:
f''(x)=-\cos x + 1,\qquad g''(x)=12x^{2}.
Avaliação em 0: f''(0)=0, g''(0)=0 → ainda 0/0.
3ª diferenciação:
f^{(3)}(x)=\sin x,\qquad g^{(3)}(x)=24x.
Avaliação em 0: f^{(3)}(0)=0, g^{(3)}(0)=0 → ainda 0/0.
4ª diferenciação:
f^{(4)}(x)=\cos x,\qquad g^{(4)}(x)=24.
Agora f^{(4)}(0)=1 e g^{(4)}(0)=24. Pela aplicação repetida da Regra de L’Hôspital (4 vezes), o limite vale
\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{f^{(4)}(x)}{g^{(4)}(x)}=\frac{1}{24}.
Isso confirma o resultado obtido pela expansão em série.

Resposta

\dfrac{1}{24}

Exercícios relacionados