Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow(\pi / 2)^{-}} \cos x \operatorname{sec} 5 x

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite unidirecional:
\lim_{x \to (\pi/2)^{-}} \cos x \operatorname{sec} 5x.
Informações dadas e observações óbvias do enunciado:
  • A expressão pode ser reescrita como uma razão: \cos x \operatorname{sec} 5x = \frac{\cos x}{\cos 5x}.
  • No ponto de interesse x=\pi/2 valem: \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0,\qquad \cos\!\left(5\cdot\tfrac{\pi}{2}\right)=\cos\!\left(\tfrac{5\pi}{2}\right)=0.
  • Portanto, ao aproximar x por valores menores que \pi/2 (lado esquerdo), o numerador tende a 0 e o denominador tende a 0. Isso indica uma forma indeterminada do tipo 0/0, de modo que é necessário um método para decidir o limite (por exemplo, a Regra de L’Hôspital ou aproximação linear).

Passo 2

Reescrevendo explicitamente a expressão e identificando a indeterminação:
\frac{\cos x}{\cos 5x}\xrightarrow[x\to(\pi/2)^{-}]{} \frac{0}{0},
ou seja, temos uma forma indeterminada 0/0. A Regra de L’Hôspital é uma ferramenta apropriada quando a função do numerador e a do denominador são diferenciáveis próximos ao ponto (exceto possivelmente no ponto) e ambas tendem a 0 (ou ambas tendem a \pm\infty). Vamos verificar essas condições antes de aplicá-la.

Passo 3

Verificação das hipóteses de L’Hôspital e cálculo das derivadas:
  • As funções f(x)=\cos x e g(x)=\cos 5x são diferenciáveis em um intervalo aberto que contém \pi/2, portanto são diferenciáveis à esquerda de \pi/2.
  • Como ambas tendem a 0 quando x\to(\pi/2)^{-}, a Regra de L’Hôspital unidirecional pode ser aplicada. A regra diz que, se as hipóteses se verificam, \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}desde que o limite do lado direito exista (ou seja finito).
  • Calculamos as derivadas (explicando cada passo):
    • Derivada de f(x)=\cos x: pela regra básica, \dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x. Aqui \sin x é a função seno; não há composição adicional.
    • Derivada de g(x)=\cos 5x: aplicar a regra da cadeia. Se h(u)=\cos u e u(x)=5x, então g'(x)=h'(u(x))\cdot u'(x). Temos h'(u)=-\sin u e u'(x)=5. Logo \frac{d}{dx}\cos 5x = -\sin(5x)\cdot 5 = -5\sin(5x).
  • Assim, pela Regra de L’Hôspital, \lim_{x\to(\pi/2)^{-}} \frac{\cos x}{\cos 5x} = \lim_{x\to(\pi/2)^{-}} \frac{-\sin x}{-5\sin(5x)} = \lim_{x\to(\pi/2)^{-}} \frac{\sin x}{5\sin(5x)}.
  • Agora avaliamos as funções no ponto limite (sendo continuo no ponto de interesse para as funções seno): \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1,\qquad \sin\!\left(5\cdot\tfrac{\pi}{2}\right)=\sin\!\left(\tfrac{5\pi}{2}\right)=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+2\pi\right)=1.Portanto o limite das derivadas é \frac{1}{5\cdot 1}=\frac{1}{5}.
Logo, pela Regra de L’Hôspital, o limite original vale \tfrac{1}{5}.

Passo 4

(Método alternativo — aproximação linear/Taylor de primeira ordem, sem L’Hôspital)
  • Perto de x=\tfrac{\pi}{2} podemos usar a aproximação linear (primeiro termo da série de Taylor) das funções cosseno. Para uma função diferenciável, f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a) quando x está perto de a.
  • Tomando a=\tfrac{\pi}{2}:
    • \cos x \approx \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) + \big(\cos'(\tfrac{\pi}{2})\big)\,(x-\tfrac{\pi}{2}) = 0 + (-\sin\!\tfrac{\pi}{2})\,(x-\tfrac{\pi}{2}) = -1\cdot (x-\tfrac{\pi}{2}) = -(x-\tfrac{\pi}{2}).
    • \cos 5x \approx \cos\!\left(5\cdot\tfrac{\pi}{2}\right) + \big((\cos 5x)'|_{x=\tfrac{\pi}{2}}\big)\,(x-\tfrac{\pi}{2}) = 0 + (-5\sin\!\tfrac{5\pi}{2})\,(x-\tfrac{\pi}{2}) = -5\cdot 1\cdot (x-\tfrac{\pi}{2}) = -5(x-\tfrac{\pi}{2}).
  • Assim, para x próximo a \tfrac{\pi}{2} (pela esquerda), \frac{\cos x}{\cos 5x} \approx \frac{-(x-\tfrac{\pi}{2})}{-5(x-\tfrac{\pi}{2})} = \frac{1}{5}.
  • Isso explica, de maneira mais elementar, por que o limite vale \tfrac{1}{5}: ambos zeros são simples (de ordem 1) e a razão das inclinações (derivadas) determina o limite.

Resposta

\dfrac{1}{5}

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