Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações fornecidas:
- A variável
tende para . - A expressão é a diferença entre
(que tende a ) e (que também tende a ). - Portanto a expressão tem a forma indeterminada
.
Passo 2
Vamos transformar a expressão para uma forma que possamos analisar melhor. Uma reescrita útil é fatorar
:
Aqui cada parte significa:
-
é um fator que tende a . -
é um quociente cujo comportamento precisamos estudar para saber o que acontece com o todo.
Passo 3
Estudar o comportamento de
quando
.
Observação: tanto quanto
tendem a
, então
é uma forma
. Nesse caso a Regra de L’Hôspital pode ser aplicada, desde que as derivadas existam e certas hipóteses clássicas sejam satisfeitas (funções diferenciáveis, limite das derivadas existindo ou sendo
). Vou aplicar a Regra de L’Hôspital:
Observação: tanto
Pelo enunciado da regra, se
é da forma
e
são diferenciáveis com
para
grande, então
quando o limite à direita existe.
Aqui
e
. As derivadas são
e
. Aplicando a regra temos
E o último limite é
Portanto concluímos que
Passo 4
Voltemos à expressão fatorada:
Já sabemos que
, logo
Assim o produto é
vezes uma quantidade que tende a
.
Passo 5
Rigorizando a conclusão: como
, existe
tal que para
temos
(qualquer constante positiva menor que 1 serve para essa argumentação). Para tais
vale
Como
quando
, pela desigualdade o produto
também tende a
. Portanto