Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow \infty}(x-\ln x)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to\infty}\bigl(x-\ln x\bigr).
Informações fornecidas:
  • A variável x tende para +\infty.
  • A expressão é a diferença entre x (que tende a +\infty) e \ln x (que também tende a +\infty).
  • Portanto a expressão tem a forma indeterminada \infty-\infty.

Passo 2

Vamos transformar a expressão para uma forma que possamos analisar melhor. Uma reescrita útil é fatorar x:
x-\ln x = x\left(1-\frac{\ln x}{x}\right).
Aqui cada parte significa:
  • x é um fator que tende a +\infty.
  • \dfrac{\ln x}{x} é um quociente cujo comportamento precisamos estudar para saber o que acontece com o todo.

Passo 3

Estudar o comportamento de \dfrac{\ln x}{x} quando x\to\infty.
Observação: tanto \ln x quanto x tendem a +\infty, então \dfrac{\ln x}{x} é uma forma \dfrac{\infty}{\infty}. Nesse caso a Regra de L’Hôspital pode ser aplicada, desde que as derivadas existam e certas hipóteses clássicas sejam satisfeitas (funções diferenciáveis, limite das derivadas existindo ou sendo \pm\infty). Vou aplicar a Regra de L’Hôspital:
Pelo enunciado da regra, se \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} é da forma \frac{\infty}{\infty} e f,g são diferenciáveis com g'(x)\neq0 para x grande, então
\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando o limite à direita existe.
Aqui f(x)=\ln x e g(x)=x. As derivadas são f'(x)=\dfrac{1}{x} e g'(x)=1. Aplicando a regra temos
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1} = \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}.
E o último limite é
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.
Portanto concluímos que
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0.

Passo 4

Voltemos à expressão fatorada:
x-\ln x = x\left(1-\frac{\ln x}{x}\right).
Já sabemos que \dfrac{\ln x}{x}\to0, logo
1-\frac{\ln x}{x} \longrightarrow 1 \quad\text{quando }x\to\infty.
Assim o produto é x vezes uma quantidade que tende a 1.

Passo 5

Rigorizando a conclusão: como 1-\dfrac{\ln x}{x}\to1, existe M>0 tal que para x>M temos 1-\dfrac{\ln x}{x}>\tfrac{1}{2} (qualquer constante positiva menor que 1 serve para essa argumentação). Para tais x vale
x\left(1-\frac{\ln x}{x}\right) > x\cdot\frac{1}{2}=\frac{x}{2}.
Como \dfrac{x}{2}\to\infty quando x\to\infty, pela desigualdade o produto x\bigl(1-\dfrac{\ln x}{x}\bigr) também tende a +\infty. Portanto
\lim_{x\to\infty}\bigl(x-\ln x\bigr)=+\infty.

Resposta

\infty

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