Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê. \lim _{x \rightarrow 0}\left(\operatorname{cotg} x-\frac{1}{x}\right)
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\left(\cot x-\frac{1}{x}\right).
Informações dadas:
A função envolvida é \cot x-\dfrac{1}{x}, com \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}.
O ponto de interesse é x\to 0.
O que queremos: encontrar o valor numérico (se existir) desse limite.
Passo 2
Primeiro vamos escrever a expressão como uma única fração para facilitar a análise. Usando \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x}:
Denominador: x\sin x \xrightarrow[x\to 0]{} 0\cdot 0 = 0.
Portanto temos a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. A Regra de l’Hôspital é apropriada quando numerador e denominador tendem simultaneamente a 0 (ou ambos a \pm\infty) e são diferenciáveis numa vizinhança do ponto (exceto possivelmente no próprio ponto). Aqui essa condição é satisfeita em qualquer intervalo (-\delta,0)\cup(0,\delta). Logo podemos aplicar l’Hôspital: o limite da razão é igual ao limite da razão das derivadas (se este existir).
Passo 4
Calculemos as derivadas (com atenção e explicando as regras usadas):
Numerador N(x)=x\cos x-\sin x.
Derivada do produto x\cos x (regra do produto): (x\cos x)'=\underbrace{1}_{(x)'}\cdot\cos x + x\cdot(-\sin x)=\cos x - x\sin x.
Derivada de -\sin x é -\cos x.
Soma: N'(x)=(\cos x - x\sin x)-\cos x=-x\sin x.
Denominador D(x)=x\sin x.
Derivada (regra do produto): D'(x)=1\cdot\sin x + x\cdot\cos x=\sin x + x\cos x.
Verificamos novamente a nova expressão ao substituir x\to 0:
Numerador: -x\sin x \to 0.
Denominador: \sin x + x\cos x \to 0 + 0\cdot 1 = 0.
Ainda temos forma \dfrac{0}{0}, então podemos aplicar l’Hôspital mais uma vez (novamente as funções são diferenciáveis na vizinhança de 0 exceto em zero). Calculamos as derivadas de novo:
Numerador M(x)=-x\sin x.
Derivada: M'(x) = -(\sin x + x\cos x) = -\sin x - x\cos x.
Denominador E(x)=\sin x + x\cos x.
Derivada: E'(x)=\cos x + (\cos x - x\sin x)=2\cos x - x\sin x.
Aplicando l’Hôspital pela segunda vez:
\lim_{x\to 0}\frac{-x\sin x}{\sin x + x\cos x} = \lim_{x\to 0}\frac{-\sin x - x\cos x}{2\cos x - x\sin x}.
Agora avalie por substituição direta x\to 0:
Numerador: -\sin x - x\cos x \xrightarrow[x\to 0]{} -0 - 0\cdot 1 = 0.
Denominador: 2\cos x - x\sin x \xrightarrow[x\to 0]{} 2\cdot 1 - 0 = 2.
Portanto o limite é
\frac{0}{2}=0.
Passo 6
Comentário didático alternativo (método mais elementar / série): pode-se também ver a ordem dos termos usando expansões de Taylor para entender o comportamento:
\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5),\qquad \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4).