Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\operatorname{tg} 2 x)^{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0^{+}} (\operatorname{tg}2x)^{x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função base é \operatorname{tg}2x (ou seja, \tan 2x).
  • O expoente é x.
  • A variável tende para 0 pela direita, isto é x\to0^{+}.
O que o problema pede: encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Identificar a forma indeterminada. Para x\to0^{+} temos:
\operatorname{tg}2x \to 0^{+}\quad\text{e}\quad x\to 0^{+},
logo a expressão tem a forma do tipo 0^{0}, que é uma forma indeterminada. Quando aparece 0^{0} (ou outras formas como 1^{\infty}, 0\cdot\infty, \infty/\infty, etc.), uma técnica padrão é tomar logaritmo natural para transformar potência em produto e facilitar a análise.

Passo 3

Defina
y=(\operatorname{tg}2x)^{x}.
Aplicando logaritmo natural (válido para x>0 porque \operatorname{tg}2x>0 para x pequeno e positivo), obtemos
\ln y = x\ln(\operatorname{tg}2x).
Portanto basta calcular
\lim_{x\to0^{+}}\ln y=\lim_{x\to0^{+}} x\ln(\operatorname{tg}2x).
Se esse limite for L, então o limite pedido será e^{L}.

Passo 4

Analisar o limite de \ln y. A expressão x\ln(\operatorname{tg}2x) é um produto onde x\to0^{+} e \ln(\operatorname{tg}2x)\to -\infty, ou seja, é do tipo 0\cdot(-\infty), outra forma indeterminada. Para aplicar a Regra de L’Hôpital transformamos o produto em quociente:
x\ln(\operatorname{tg}2x)=\frac{\ln(\operatorname{tg}2x)}{1/x}.
Agora o numerador tende a -\infty e o denominador a +\infty, portanto podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 5

Aplicar a Regra de L’Hôpital: derivar numerador e denominador em relação a x.
Derivada do numerador:
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(\operatorname{tg}2x)\bigr] =\frac{1}{\operatorname{tg}2x}\cdot\frac{d}{dx}(\operatorname{tg}2x).
Como \dfrac{d}{dx}\operatorname{tg}u=\operatorname{sec}^{2}u\cdot u', com u=2x obtemos u'=2 e
\frac{d}{dx}(\operatorname{tg}2x)=2\operatorname{sec}^{2}2x.
Logo
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(\operatorname{tg}2x)\bigr] =\frac{2\operatorname{sec}^{2}2x}{\operatorname{tg}2x}.
Simplificando usando \operatorname{tg}2x=\dfrac{\sin2x}{\cos2x} e \operatorname{sec}^{2}2x=\dfrac{1}{\cos^{2}2x}, fica
\frac{2\operatorname{sec}^{2}2x}{\operatorname{tg}2x} =2\cdot\frac{1/\cos^{2}2x}{\sin2x/\cos2x} =2\cdot\frac{1}{\sin2x\cos2x}.
Derivada do denominador 1/x é
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x^{2}}.
Pela Regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to0^{+}} \frac{\ln(\operatorname{tg}2x)}{1/x} =\lim_{x\to0^{+}} \frac{2/(\sin2x\cos2x)}{-1/x^{2}} =\lim_{x\to0^{+}} \left(-2\frac{x^{2}}{\sin2x\cos2x}\right).

Passo 6

Avaliar o limite obtido. Para x\to0 temos \sin2x\sim 2x e \cos2x\to 1, portanto
-2\frac{x^{2}}{\sin2x\cos2x}\sim -2\frac{x^{2}}{(2x)\cdot 1}=-x\longrightarrow 0.
Logo
\lim_{x\to0^{+}} x\ln(\operatorname{tg}2x)=0.

Passo 7

Como \lim_{x\to0^{+}}\ln y=0, pela continuidade da exponencial segue que
\lim_{x\to0^{+}} y=\lim_{x\to0^{+}} e^{\ln y}=e^{0}=1.
Portanto o limite pedido é 1.

Passo 8

(Soluções alternativas e intuição rápida) Uma forma mais elementar: escreva
x\ln(\operatorname{tg}2x)=x\ln(2x)+x\ln\!\left(\frac{\operatorname{tg}2x}{2x}\right).
Aqui x\ln(2x)=x(\ln2+\ln x)\to 0 porque x\ln2\to0 e o clássico limite \lim_{x\to0^{+}} x\ln x=0 (pode provar trocando x=e^{-u}). Quanto ao segundo termo, \dfrac{\operatorname{tg}2x}{2x}\to1 e sua diferença de 1 é O(x^{2}) (pela série de Taylor de \tan), então x\ln\!\left(\dfrac{\operatorname{tg}2x}{2x}\right)=O(x^{3})\to0. Soma de termos que vão a zero dá zero, concordando com o resultado anterior e mostrando de maneira elementar que o limite do logaritmo é zero.

Resposta

1

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