Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função base é
(ou seja, ). - O expoente é
. - A variável tende para
pela direita, isto é .
O que o problema pede: encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Identificar a forma indeterminada. Para
temos:
logo a expressão tem a forma do tipo
, que é uma forma indeterminada. Quando aparece
(ou outras formas como
,
,
, etc.), uma técnica padrão é tomar logaritmo natural para transformar potência em produto e facilitar a análise.
Passo 3
Defina
Aplicando logaritmo natural (válido para
porque
para
pequeno e positivo), obtemos
Portanto basta calcular
Se esse limite for
, então o limite pedido será
.
Passo 4
Analisar o limite de
. A expressão
é um produto onde
e
, ou seja, é do tipo
, outra forma indeterminada. Para aplicar a Regra de L’Hôpital transformamos o produto em quociente:
Agora o numerador tende a
e o denominador a
, portanto podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 5
Aplicar a Regra de L’Hôpital: derivar numerador e denominador em relação a
.
Derivada do numerador:
Como
, com
obtemos
e
Logo
Simplificando usando
e
, fica
Derivada do denominador
é
Pela Regra de L’Hôpital,
Passo 6
Avaliar o limite obtido. Para
temos
e
, portanto
Logo
Passo 7
Como
, pela continuidade da exponencial segue que
Portanto o limite pedido é
.
Passo 8
(Soluções alternativas e intuição rápida) Uma forma mais elementar: escreva
Aqui
porque
e o clássico limite
(pode provar trocando
). Quanto ao segundo termo,
e sua diferença de
é
(pela série de Taylor de
), então
. Soma de termos que vão a zero dá zero, concordando com o resultado anterior e mostrando de maneira elementar que o limite do logaritmo é zero.