Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x} \cdot e^{\frac{-x}{2}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to+\infty} \sqrt{x}\,e^{-\frac{x}{2}}.
Note que \sqrt{x}\to+\infty e e^{-x/2}\to0, ou seja, temos o tipo indeterminado \infty\cdot0. Para usar a regra de l’Hospital, vamos primeiro reescrever como quociente.

Passo 2

Escrevemos
\sqrt{x}\,e^{-\frac{x}{2}} =\frac{\sqrt{x}}{e^{x/2}},
que, ao x\to+\infty, gera a forma \tfrac{\infty}{\infty}, permitindo a aplicação da regra de l’Hospital.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador separadamente:
– Numerador: \dfrac{d}{dx}\bigl(\sqrt{x}\bigr)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
– Denominador: \dfrac{d}{dx}\bigl(e^{x/2}\bigr)=\tfrac12\,e^{x/2}.
Pela regra de l’Hospital, o limite vira
\lim_{x\to+\infty} \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}}{\frac12\,e^{x/2}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{e^{x/2}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{-x/2}}{\sqrt{x}}.

Passo 4

Na expressão \frac{e^{-x/2}}{\sqrt{x}} o numerador tende a 0 e o denominador tende a +\infty, logo o quociente tende a 0.

Resposta

0

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