Encontre os limites nos exercicios 43-50.
\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{-x} \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede o limite \lim_{x\to+\infty} e^{-x}\sin x.
Para resolver, vamos usar o Teorema do Confronto e a informação de que \sin x é limitada entre -1 e 1.

Passo 2

Como para todo x vale
-1 \le \sin x \le 1,
e como e^{-x}>0, multiplicando essa desigualdade por e^{-x} obtemos
-e^{-x} \le e^{-x}\sin x \le e^{-x}.

Passo 3

Agora calculamos os limites das funções que aparecem nas “bordas” do confronto:
\lim_{x\to+\infty} e^{-x} = 0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to+\infty} (-e^{-x}) = 0.

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, se -e^{-x} \le e^{-x}\sin x \le e^{-x}
e ambos os extremos tendem a 0, então
\lim_{x\to+\infty} e^{-x}\sin x = 0.

Resposta

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