Limites de funçōes racionais

Nos exercicios 51-60, determine o limite de cada funçăo quando (a) x \rightarrow \infty \mathrm{c} (b) x \rightarrow-\infty,
f(x)=\frac{2 x{3}+7}{x{3}-x^{2}+x+7}

Passo 1

O enunciado pede para calcular os limites da função racional
f(x)=\frac{2x^{3}+7}{x^{3}-x^{2}+x+7}
quando (a) x\to\infty e (b) x\to -\infty.
Conteúdo: limites de funções racionais de mesmo grau no numerador e no denominador. Vamos usar o método de dividir por x^3, que é o maior grau.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por x^3:
f(x) =\frac{2x^{3}+7}{x^{3}-x^{2}+x+7} =\frac{2 + \dfrac{7}{x^3}}{1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{7}{x^3}}.

Passo 3

Analisando x\to\infty, todos os termos com potências negativas de x vão a zero:
\lim_{x\to\infty}f(x) =\frac{2 + 0}{1 - 0 + 0 + 0} =2.

Passo 4

Para x\to -\infty, o comportamento é o mesmo: as frações \tfrac{1}{x},\tfrac{1}{x^2},\tfrac{1}{x^3} também tendem a zero, logo
\lim_{x\to -\infty}f(x) =\frac{2 + 0}{1 - 0 + 0 + 0} =2.

Resposta

(a) 2
(b) 2

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