Encontre os limites nos exercicios 43-50.
\lim _{r \rightarrow-1} \frac{r+\operatorname{sen} r}{2 r+7-5 \operatorname{sen} r}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{r\to -1}\frac{r+\operatorname{sen} r}{2r+7-5\operatorname{sen} r}
usando conceitos de limite e continuidade de funções elementares, em especial a continuidade de \operatorname{sen} r.

Passo 2

Verificamos se é possível usar substituição direta: como \operatorname{sen} r é contínua em todo \mathbb{R}, basta substituir r=-1 em numerador e denominador para ver se não ocorre a forma indeterminada \tfrac{0}{0}.
No numerador:
(-1)+\operatorname{sen}(-1)=-1-\operatorname{sen}(1).
No denominador:
2(-1)+7-5\operatorname{sen}(-1)=-2+7+5\operatorname{sen}(1)=5+5\operatorname{sen}(1).
Como -1-\operatorname{sen}(1)\neq0 e 5+5\operatorname{sen}(1)\neq0, não há indeterminação.

Passo 3

O limite é, portanto, o quociente dos valores obtidos:
\frac{-1-\operatorname{sen}(1)}{5+5\operatorname{sen}(1)}.

Passo 4

Fatorando 1+\operatorname{sen}(1) em cima e embaixo,
\frac{-1-\operatorname{sen}(1)}{5\bigl(1+\operatorname{sen}(1)\bigr)} =-\frac{1+\operatorname{sen}(1)}{5\bigl(1+\operatorname{sen}(1)\bigr)} =-\frac{1}{5}.

Resposta

-\frac{1}{5}

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