Encontre os limites, se existirem. Caso não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{x^{2}-1}{|x-1|}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: \displaystyle \lim_{x\to1^{-}}\frac{x^{2}-1}{|x-1|}.
  • Pedido: calcular o limite quando x se aproxima de 1 vindo pela esquerda (isto é, com x<1).
  • Informação útil: a expressão é uma fração com numerador x^{2}-1 e denominador |x-1|.
    Observação importante: para limites laterais (aqui à esquerda) é preciso considerar o sinal de x-1 quando x<1.

Passo 2

Fatorar o numerador para simplificar:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Isso é a diferença de quadrados; é uma fatoração padrão que economiza trabalho.

Passo 3

Tratar o valor absoluto de forma apropriada para x vindo pela esquerda de 1. Para x<1 temos x-1<0, logo
|x-1|=-(x-1)=1-x.
Substituindo o numerador fatorado e o denominador adequado, para x<1 a expressão fica
\frac{x^{2}-1}{|x-1|}=\frac{(x-1)(x+1)}{1-x}.

Passo 4

Simplificar a fração. Note que 1-x=-(x-1), então
\frac{(x-1)(x+1)}{1-x}=\frac{(x-1)(x+1)}{-(x-1)}=-(x+1),
desde que x\neq1 (o que é verdade ao calcular limite). Assim, para todo x<1 (próximo de 1) a função dada vale -(x+1).
Explicação de conceito usada: se em alguma vizinhança à esquerda de 1 a expressão é igual a -(x+1), e -(x+1) é uma função contínua, então o limite quando x\to1^{-} é o mesmo que o valor de -(x+1) em x=1.

Passo 5

Calcular o limite por substituição (continuidade da função linear):
\lim_{x\to1^{-}}\frac{x^{2}-1}{|x-1|}=\lim_{x\to1^{-}}-(x+1)=-(1+1)=-2.

Resposta

-2

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