Encontre os limites, se existirem. Caso não exista, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}+6 x+5}{x^{2}-3 x-4}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos: calcular \lim_{x\to -1}\frac{x^{2}+6x+5}{x^{2}-3x-4}.
Informações relevantes dadas:
  • O numerador é o polinômio x^{2}+6x+5.
  • O denominador é o polinômio x^{2}-3x-4.
  • O ponto de interesse é x\to -1.
  • Ao substituir x=-1 diretamente, o numerador vale 0 e o denominador vale 0, portanto a expressão assume a forma indeterminada \tfrac{0}{0}.

Passo 2

O que significa essa forma indeterminada e qual estratégia usar:
  • Uma razão de polinômios \dfrac{p(x)}{q(x)} tem limite igual ao valor da razão se q não for zero no ponto (continuidade das funções polinomiais e quocientes onde o denominador é ≠0).
  • Quando a substituição direta dá \tfrac{0}{0}, isso é uma indeterminação: não sabemos o limite só por essa substituição. Uma técnica básica e segura é fatorar os polinômios e tentar simplificar (cancelar fatores comuns), porque muitas vezes o zero no denominador é “removível”.
  • Regra usada: se duas funções são iguais em todo um entorno de um ponto (exceto possivelmente no próprio ponto), então têm o mesmo limite nesse ponto. Assim, podemos simplificar a expressão para uma função equivalente para x\neq -1 e calcular o limite dessa função simplificada.

Passo 3

Fatorar numerador e denominador passo a passo:
  • Procurar fatores de x^{2}+6x+5. Dois números cuja soma é 6 e produto é 5 são 1 e 5. Logo,
x^{2}+6x+5=(x+1)(x+5).
  • Procurar fatores de x^{2}-3x-4. Dois números cuja soma é -3 e produto é -4 são -4 e 1. Logo,
x^{2}-3x-4=(x-4)(x+1).

Passo 4

Simplificar cancelando o fator comum:
  • Das fatorações acima, ambos numerador e denominador têm o fator (x+1). Para x\neq -1 podemos cancelar esse fator, obtendo a função equivalente
\frac{x^{2}+6x+5}{x^{2}-3x-4}=\frac{(x+1)(x+5)}{(x-4)(x+1)}=\frac{x+5}{x-4},\qquad (x\neq -1).
  • Justificativa: a identidade entre as duas expressões vale para todo x diferente de -1. Portanto os limites quando x\to -1 são os mesmos para ambas as expressões. A função simplificada \dfrac{x+5}{x-4} é contínua em x=-1 porque o denominador em -1 é -5\neq 0.

Passo 5

Calcular o limite aplicando substituição na expressão simplificada:
  • Como a função simplificada é contínua em x=-1, basta substituir x=-1:
\lim_{x\to -1}\frac{x+5}{x-4}=\frac{-1+5}{-1-4}=\frac{4}{-5}=-\frac{4}{5}.
  • Passo aritmético mostrado: -1+5=4 e -1-4=-5, então \dfrac{4}{-5}=-\dfrac{4}{5}.

Passo 6

Interpretação final e observação útil para a prova:
  • O limite existe e é finito: -\dfrac{4}{5}.
  • Observação conceitual: a expressão original tem uma descontinuidade em x=-1 porque a função original não está definida ali (denominador zero), mas essa descontinuidade é removível — o limite existe. Em prova, ao ver \tfrac{0}{0}, tente fatorar e cancelar; essa é a técnica mais simples e rápida sem usar cálculo diferencial (como L’Hôpital).

Resposta

-\dfrac{4}{5}

Exercícios relacionados