Encontre os limites, se existirem. Caso não exista, explique o porquê.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos: calcular
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - O ponto de interesse é
. - Ao substituir
diretamente, o numerador vale e o denominador vale , portanto a expressão assume a forma indeterminada .
Passo 2
O que significa essa forma indeterminada e qual estratégia usar:
- Uma razão de polinômios
tem limite igual ao valor da razão se não for zero no ponto (continuidade das funções polinomiais e quocientes onde o denominador é ≠0). - Quando a substituição direta dá
, isso é uma indeterminação: não sabemos o limite só por essa substituição. Uma técnica básica e segura é fatorar os polinômios e tentar simplificar (cancelar fatores comuns), porque muitas vezes o zero no denominador é “removível”. - Regra usada: se duas funções são iguais em todo um entorno de um ponto (exceto possivelmente no próprio ponto), então têm o mesmo limite nesse ponto. Assim, podemos simplificar a expressão para uma função equivalente para
e calcular o limite dessa função simplificada.
Passo 3
Fatorar numerador e denominador passo a passo:
- Procurar fatores de
. Dois números cuja soma é e produto é são e . Logo,
- Procurar fatores de
. Dois números cuja soma é e produto é são e . Logo,
Passo 4
Simplificar cancelando o fator comum:
- Das fatorações acima, ambos numerador e denominador têm o fator
. Para podemos cancelar esse fator, obtendo a função equivalente
- Justificativa: a identidade entre as duas expressões vale para todo
diferente de . Portanto os limites quando são os mesmos para ambas as expressões. A função simplificada é contínua em porque o denominador em é .
Passo 5
Calcular o limite aplicando substituição na expressão simplificada:
- Como a função simplificada é contínua em
, basta substituir :
- Passo aritmético mostrado:
e , então .
Passo 6
Interpretação final e observação útil para a prova:
- O limite existe e é finito:
. - Observação conceitual: a expressão original tem uma descontinuidade em
porque a função original não está definida ali (denominador zero), mas essa descontinuidade é removível — o limite existe. Em prova, ao ver , tente fatorar e cancelar; essa é a técnica mais simples e rápida sem usar cálculo diferencial (como L’Hôpital).